基于DCT与小波变换的压缩感知图像重构仿真系统

资 源 简 介

本项目基于MATLAB平台，深入研究并实现压缩感知（Compressive Sensing, CS）理论在图像处理中的应用。系统核心功能包含构建基于离散余弦变换（DCT）和离散小波变换（DWT）的两种稀疏基模型，用于将非稀疏的自然图像转化为稀疏信号。项目将模拟压缩感知的数据采集与恢复过程：首先利用高斯随机矩阵或伯努利矩阵构建测量矩阵，对稀疏化后的图像信号进行降维观测（压缩采样）；随后在接收端，采用正交匹配追踪（OMP）算法或基追踪（BP）算法，通过求解优化问题从少量的线性投影值中高精度地重构出原始图像。项目将提供可视化界面或脚本，允许用户调节采样率（压缩比），并实时对比DCT变换与小波变换在不同图像特征（如平滑区域、纹理细节）下的重构性能。此外，系统会自动计算峰值信噪比（PSNR）、均方误差（MSE）以及结构相似性（SSIM）等指标，量化评估两种变换方式在压缩感知框架下的具体表现，验证CS理论在低于奈奎斯特采样率条件下的信号恢复能力。

详 情 说 明

基于DCT与小波变换的压缩感知图像重构仿真系统

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB实现的压缩感知（Compressive Sensing, CS）图像重构仿真系统。该系统旨在验证和对比在低于奈奎斯特采样率的条件下，利用不同稀疏基（离散余弦变换DCT与离散小波变换DWT）对自然图像进行重构的性能。

系统采用分块压缩感知（Block CS）架构，模拟了从高斯随机观测到正交匹配追踪（OMP）算法重构的完整流程，并提供详细的性能指标（PSNR、SSIM、运行时间）以及直观的稀疏性分析图表。

核心功能特性

• 多重稀疏基对比：实现了基于离散余弦变换（DCT）和Haar小波变换（DWT）的两种稀疏表示方法，支持在同一测试条件下对比两者的重构效果。
• 分块压缩感知架构：为了降低计算复杂度并便于处理，系统将图像分割为16x16的局部块进行独立观测与重构。
• 高斯随机投影：使用高斯随机矩阵作为测量矩阵，模拟非相干采样过程。
• OMP重构算法：内置手写的正交匹配追踪（OMP）算法，包含相关性匹配、索引集更新及最小二乘拟合步骤。
• 多采样率仿真：支持自动遍历多个采样率（0.3, 0.4, 0.5, 0.6），评估压缩比对图像质量的影响。
• 性能量化评估：自动计算峰值信噪比（PSNR）、均方误差（MSE）以及结构相似性（SSIM）。
• 可视化分析：

* 稀疏性分析：直观展示图像块在DCT和DWT域下的系数衰减情况。 * 结果对比：展示重构后的图像效果及各项指标。

系统要求

• MATLAB R2016a 或更高版本
• Image Processing Toolbox（用于图像读取与缩放）

使用方法

1. 确保MATLAB当前工作目录包含主脚本文件。
2. 在MATLAB命令窗口输入 main 并回车即可运行。
3. 程序将自动处理名为 cameraman.tif 的内置图像（若不存在则自动生成体模图像）。
4. 运行过程中，控制台将实时输出不同采样率下的PSNR、SSIM及运行时间对比。
5. 程序运行结束后，将弹出稀疏性分析窗口和最终的重构结果对比图。

代码实现逻辑详解

系统的主流程在 main 函数中严格按照以下步骤执行：

1. 图像预处理

• 读取与转换：读取 cameraman.tif，若为彩色图像则转为灰度图。
• 尺寸归一化：为了确保能够被16x16的分块整除，图像被强制缩放为256x256像素。
• 数据类型：图像数据转换为 double 类型以便通过矩阵运算进行处理。
• 稀疏性分析可视化：在重构开始前，提取图像中心块，计算并绘制其DCT系数和Haar小波系数的幅度衰减曲线，直观展示自然图像的稀疏特性。

2. 稀疏基构建

代码中未直接调用MATLAB内置变换函数进行重构，而是显式构造了变换矩阵：

• DCT基：生成一维N点反离散余弦变换矩阵。
• DWT基：通过多级分解逻辑，迭代构造了N点的Haar小波反变换正交矩阵。

3. 重构仿真循环

程序遍历预设的采样率列表 [0.3, 0.4, 0.5, 0.6]，对每个采样率执行以下操作：

• 测量矩阵生成：根据观测维数 $M$ 构建高斯随机矩阵 $Phi$，并对列进行归一化。为保证DCT与DWT测试条件的公平性，使用了固定的随机数种子。
• 分块重构（Block CS）：

* 分别传入DCT和DWT基矩阵调用重构子函数。 * 计时：独立记录两种变换方式的重构耗时。

• 指标计算：计算原始图像与重构图像之间的PSNR和SSIM。
• 结果存储：保存特定采样率（默认为0.5）下的重构图像用于最终展示。

4. 结果可视化

循环结束后，调用绘图函数展示原始图像以及特定采样率下DCT和DWT的重构图像。

关键算法与函数分析

block_cs_reconstruction (分块重构核心)

该函数实现了分块压缩感知的核心逻辑：

• 输入：全图数据、测量矩阵 $Phi$、稀疏基反变换矩阵 $Psi$、块大小。
• 传感矩阵：预计算 $Theta = Phi Psi$。
• 遍历处理：以16像素为步长，无重叠地提取图像块。
• 观测：将图像块向量化为 $x$，计算观测值 $y = Phi x$。
• 求解：调用 omp_algo 求解稀疏系数 $hat{s}$。
• 恢复：计算 $hat{x} = Psi hat{s}$，并将恢复后的向量重塑回图像矩阵。
• 后处理：对像素值进行[0, 255]截断，防止数值溢出。

omp_algo (正交匹配追踪算法)

这是一个手写的OMP算法实现，用于求解优化问题 $y = Theta s$：

• 初始化：设置残差 $r=y$，索引集为空。
• 迭代过程：

1. 匹配：计算传感矩阵各列与当前残差的相关性（点积）。 2. 选列：找到相关性最大的列索引，更新所以集。 3. 投影：通过最小二乘法（Least Squares, ` 运算符）求出当前索引集下的最优系数。 4. 更新残差：计算新的残差向量。 5. 收敛判断：当残差范数小于 $10^{-6}$ 或达到最大迭代次数时停止。

• 参数设定：稀疏度 $K$（迭代次数）动态设定为观测维数的 $1/2.5$。

create_dwt_basis (小波基生成)

该函数展示了如何通过算法生成矩阵形式的小波变换：

• 不依赖工具箱的高级封装，而是利用Haar小波滤波器的系数特性 $(1/sqrt{2}, 1/sqrt{2})$ 和 $(1/sqrt{2}, -1/sqrt{2})$。
• 通过循环和 blkdiag 函数构建多层分解矩阵，最终生成的 $Psi$ 是正交小波变换矩阵的转置（即反变换矩阵）。

calculate_metrics` (指标计算)

• PSNR：基于均方误差（MSE）的标准计算公式，最大像素值取255。
• SSIM：实现了一个简化的结构相似性计算，利用全局的均值、方差和协方差进行估算，而非标准的滑动窗口SSIM。