牛顿－拉夫逊法概要

资 源 简 介

一、 牛顿－拉夫逊法概要首先对一般的牛顿－拉夫逊法作一简单说明。已知一个变量X的函数 （4－6） 解此方程式时，由适当的近似值X（0）出发，根据 （4－7）反复进行计算，当X（n）满足适当的收敛判定条件时就是（4－6）式的根。这样的方法就是所谓的牛顿－拉夫逊法。式（4－7）就是取第n近似解X（n）在曲线 上的点 处的切线与X轴的交点作下一次X（n+1）值的方法。参考图4－2（a）。在这一方法中为

详 情 说 明

一、 牛顿－拉夫逊法概要

首先，让我们简要介绍一般的牛顿－拉夫逊法。假设我们有一个变量X的函数（4－6），如何找到这个函数的解？我们可以从适当的近似值X（0）出发，根据（4－7）反复计算，直到X（n）满足适当的收敛条件，此时X（n）即为（4－6）式的根。这种方法被称为牛顿－拉夫逊法。

式（4－7）的含义是，取第n个近似解X（n）在曲线上的点处的切线与X轴的交点作为下一次X（n+1）的值。请参考图4－2（a）。值得注意的是，为了确保方法能够收敛于真解，我们必须选择适当的初值X（0）和函数f（X）。如果选择不合适的初值X（0）或函数f（X），则可能会出现无法收敛或收敛到其他根的情况。请参考图4－2（b）。

此外，我们还可以使用以下方式解释这种方法。假设第n次迭代得到的解与真值之差为误差e（n），则：

e（n+1）=f（X（n+1））=f（X（n））+f'（X（n））（X（n+1）-X（n））=0

将f（X（n））在X（n）附近用泰勒级数展开，得到：

f（X（n））+f'（X（n））（X（n+1）-X（n））+O（（X（n+1）-X（n））^2）=0

忽略高阶项，则有：

X（n+1）≈X（n）-f（X（n））/f'（X（n））

比较式（4-7）和（4-11），可以看出牛顿-拉夫逊法的修正量和误差e（n）的一次项相等。同样的方法可以用于n个变量的情况。