离散二次线性系统最优控制问题

资 源 简 介

离散二次线性系统最优控制问题

详 情 说 明

离散二次线性系统最优控制问题是控制系统中的经典问题，其核心目标是通过设计控制器使系统在满足动态约束的同时，最小化某个二次型性能指标。这类问题通常采用线性二次调节器（LQR）方法求解。

### 问题描述 给定一个离散时间线性系统： [ x_{k+1} = A x_k + B u_k ] 其中，( x_k ) 是状态向量，( u_k ) 是控制输入，( A ) 和 ( B ) 分别是系统矩阵和输入矩阵。性能指标定义为： [ J = sum_{k=0}^{infty} (x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k) ] 其中，( Q ) 和 ( R ) 分别是状态和控制输入的权重矩阵，通常 ( Q ) 半正定、( R ) 正定。

### 解决方法 最优控制问题可以通过求解离散代数Riccati方程（DARE）来寻找最优状态反馈控制律： [ u_k = -K x_k ] 其中，反馈增益 ( K ) 由以下方程计算： [ K = (R + B^T P B)^{-1} B^T P A ] ( P ) 是Riccati方程的解，满足： [ P = A^T P A - A^T P B (R + B^T P B)^{-1} B^T P A + Q ]

### MATLAB实现思路 在MATLAB中，可以直接使用`dlqr`函数求解离散LQR问题，该函数内置了高效的数值求解算法。输入参数包括系统矩阵 ( A )、输入矩阵 ( B )，以及权重矩阵 ( Q ) 和 ( R )，输出为最优增益 ( K )、Riccati方程解 ( P ) 和闭环特征值。

此外，可以手动实现迭代算法求解Riccati方程，但数值稳定性不如内置函数。对于仿真验证，可使用`dare`函数单独求解Riccati方程，并结合状态反馈进行闭环控制仿真，观察系统响应与性能指标的变化。

### 扩展应用 该方法适用于无人机轨迹跟踪、机器人平衡控制等场景，通过调整权重矩阵 ( Q ) 和 ( R ) 可权衡状态调节速度与控制能量消耗。若系统存在外部扰动或噪声，可进一步结合卡尔曼滤波构建LQG控制器。