一次，二次，三次bezier曲线

资 源 简 介

一次，二次，三次bezier曲线

详 情 说 明

Bezier曲线是计算机图形学中常用的参数曲线，通过控制点来定义平滑路径。其核心思想是使用伯恩斯坦多项式作为基函数进行插值。

一次Bezier曲线（线性）是最简单的形式，只需两个控制点P0和P1。曲线上的点按参数t在两点间线性插值，公式为B(t) = (1-t)P0 + tP1。此时曲线退化为直线段。

二次Bezier曲线引入第三个控制点P2，形成抛物线。计算时需要二次插值：先对P0-P1和P1-P2分别做线性插值，再对结果进行二次插值。最终公式为B(t) = (1-t)²P0 + 2(1-t)tP1 + t²P2。

三次Bezier曲线（最常用）需四个控制点，通过三次多项式产生S形曲线。其计算过程类似地嵌套三层线性插值，公式为B(t) = (1-t)³P0 + 3(1-t)²tP1 + 3(1-t)t²P2 + t³P3。这种曲线广泛用于字体设计和路径动画。

在MATLAB中实现时，通常先定义参数t的范围（如linspace(0,1)），然后向量化计算各阶曲线的坐标。通过plot函数可视化时，控制点可以用散点标记，曲线用实线连接。高阶曲线可通过de Casteljau算法递归求解，但直接套用多项式公式更高效。

理解Bezier曲线的关键在于：控制点决定曲线形态但不一定经过曲线（一次曲线除外），且曲线始终位于控制点的凸包内。调整控制点位置时，曲线会呈现"磁性吸附"的特性，这种直观性使其成为设计工具的基础。