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多重网格方法是求解偏微分方程的高效数值算法,特别适用于求解大规模线性方程组。它通过在不同粗细的网格层之间迭代来加速收敛,比传统单层网格方法效率更高。以下是该方法的实现思路:
网格层次构建:多重网格的核心在于利用多级网格,从最精细的网格逐步过渡到最粗糙的网格(或反向)。每一层网格的离散化程度不同,通常采用几何或代数方法生成。
松弛迭代:在每一网格层上,使用如Jacobi、Gauss-Seidel等平滑迭代方法减少高频误差,使得剩余误差能在较粗的网格上得到更高效的修正。
限制与延拓: 限制(Restriction):将细网格上的残差传递到粗网格上,通常采用加权平均方法。 延拓(Prolongation):将粗网格上的修正值插值回细网格,常用线性插值。
V循环与W循环: V循环:从最细网格开始,逐步限制到最粗网格,再逐层延拓回最细网格。 W循环:在部分层间增加额外的限制与延拓步骤,收敛速度可能更快但计算量更大。
收敛条件:通过残差范数或迭代次数判断是否终止计算,避免过度优化。
该方法显著减少了传统迭代法的计算量,尤其适用于椭圆型偏微分方程(如泊松方程)。在MATLAB中,矩阵操作和循环结构能高效实现网格间的数据传递,而内置的稀疏矩阵处理进一步优化了性能。