计算两组向量之间的旋转矩阵

资 源 简 介

计算两组向量之间的旋转矩阵

详 情 说 明

在三维空间中，当我们需要将一个坐标系中的向量转换到另一个坐标系时，旋转矩阵扮演着关键角色。给定两组在各自坐标系中方向相同但表达不同的单位向量，计算它们之间的旋转矩阵是一个经典的几何问题。

基本思路是，假设我们有两组向量v1和v2，它们在不同坐标系下表示同一个方向。旋转矩阵R的作用是将v1变换到v2，即满足R·v1 = v2。但如果只有单组向量对，旋转矩阵的解并不唯一，因为绕v1方向的任意旋转都能满足条件。因此，通常至少需要两组不共线的向量对才能唯一确定旋转矩阵。

一种常用的方法是利用Kabsch算法或者类似的最小二乘优化，使得旋转矩阵在最小化两组向量差异的同时保持正交性。具体来说，可以构造一个协方差矩阵，然后通过奇异值分解（SVD）来提取最优旋转矩阵。

此外，如果已知两个坐标系下的三个正交基向量，旋转矩阵可以直接通过基向量的对应关系构造出来。这种方法在传感器标定、3D模型配准等领域有广泛应用。

理解旋转矩阵的计算不仅有助于坐标变换，也为后续的刚体运动分析、机器人位姿估计等高级应用奠定了基础。