矩阵逆运算，tsvd的算法

资 源 简 介

矩阵逆运算，tsvd的算法

详 情 说 明

矩阵逆运算是线性代数中的核心操作之一，但在实际应用中直接求逆可能面临数值不稳定（尤其对于病态矩阵）或计算复杂度高的问题。TSVD（Truncated Singular Value Decomposition，截断奇异值分解）通过舍弃较小的奇异值来提升数值稳定性，常用于近似求解矩阵的逆或伪逆。

### 核心思路 传统逆运算问题：当矩阵接近奇异（行列式接近零）时，直接求逆会导致极大误差或计算失败。 TSVD原理：对矩阵A进行奇异值分解（A = UΣVᵀ），保留前k个较大的奇异值（其余置零），得到低秩近似矩阵Aₖ ≈ UₖΣₖVₖᵀ，其伪逆为Aₖ⁺ = VₖΣₖ⁻¹Uₖᵀ。 截断策略：通过阈值（如奇异值总和的百分比）或固定秩k控制精度与稳定性平衡。

### MATLAB实现要点 MATLAB的`svd`函数可直接实现完整SVD，而TSVD需手动截断： 步骤1：调用`[U,S,V] = svd(A)`获取分解结果。 步骤2：选择截断参数（如`k=rank(A)`或基于误差容忍度）。 步骤3：构造对角阵Σₖ⁻¹（仅保留前k个奇异值的倒数），计算伪逆Aₖ⁺ = V(:,1:k) inv(S(1:k,1:k)) U(:,1:k)'。

### 应用场景 病态方程组求解：如信号处理中的去噪。 降维与压缩：通过舍弃次要特征减少计算量。

注意：TSVD牺牲部分精度换取稳定性，需根据实际需求调整截断阈值。