Lagrange插值、Newton插值函数等插值函数

资 源 简 介

Lagrange插值、Newton插值函数等插值函数

详 情 说 明

插值函数的数学背景与应用 在数值分析中，插值函数用于通过已知离散数据点构造连续函数，其核心目标是找到一条平滑曲线穿过所有给定点。Lagrange插值和Newton插值是最经典的两种多项式插值方法，适用于实验数据拟合、函数逼近等场景。

Lagrange插值：直观但计算量大 Lagrange插值通过构造一组基函数（Lagrange多项式）来确保每个数据点被精确穿过。其特点是形式对称，直接依赖于所有节点，因此新增节点时需完全重新计算。虽然逻辑清晰，但节点较多时会出现“Runge现象”（边缘震荡），且计算复杂度较高（O(n²)）。

Newton插值：递推与差分的优势 Newton插值基于差商（divided differences）构建，采用递推形式逐步添加节点。新增数据点时，仅需在前次结果上扩展一项，计算效率更高（O(n)）。其表达式为嵌套乘法形式，适合编程实现。差商表的构建是核心步骤，体现了节点间的动态关系。

对比与选型建议 精度：两者在给定节点上完全一致，均为唯一n次多项式。 灵活性：Newton插值更适合动态增删节点的场景（如实时数据）。 稳定性：高次插值均可能振荡，建议分段低次插值（如样条）。

扩展应用 这些方法为后续技术（如Hermite插值、样条函数）奠定了基础。实际工程中需权衡计算成本与精度，例如在CAD建模或气象数据插值时优先考虑分段低阶多项式。