基于交替方向乘子法的二次规划问题求解

资 源 简 介

基于交替方向乘子法的二次规划问题求解

详 情 说 明

二次规划问题在工程优化、机器学习等领域有着广泛应用。交替方向乘子法（ADMM）作为一种高效的分布式优化算法，特别适合求解这类问题。

ADMM将原问题分解为多个子问题进行交替求解。对于标准的二次规划问题，我们可以将其表示为包含等式约束的优化问题。ADMM通过引入辅助变量和对偶变量，将问题分解为三个交替更新的步骤：原始变量更新、辅助变量更新和对偶变量更新。

在原始变量更新步骤中，由于目标函数是二次的，通常可以得到解析解。辅助变量更新则负责处理约束条件，这个步骤往往可以通过简单的投影操作完成。对偶变量的更新则采用梯度上升的方式，保证算法收敛。

ADMM的优势在于其良好的并行性，各个子问题可以独立求解。此外，该方法对问题规模不敏感，特别适合大规模优化问题。值得注意的是，ADMM的收敛速度虽然不如内点法快，但每一步迭代的计算开销要小得多。

在实际应用中，ADMM的参数选择会影响收敛性能。通常需要根据具体问题调整惩罚参数，有时还会采用自适应策略来加速收敛。对于强凸的二次规划问题，ADMM能保证线性收敛速率。