共轭梯度法

资 源 简 介

共轭梯度法

详 情 说 明

共轭梯度法是一种用于求解大型线性方程组和优化问题的经典迭代算法。它巧妙地将最速下降法的简单性与牛顿法的快速收敛特性相结合，成为科学计算领域的核心工具之一。

该方法的核心思想是通过构造一组共轭方向来替代传统的梯度下降方向。共轭性保证了在每个方向上的优化不会破坏之前方向的优化结果，这使得算法能以较少的迭代次数达到较高精度。对于n维问题，理论上最多经过n次迭代就能得到精确解。

在实现上，共轭梯度法仅需要计算目标函数的一阶导数（梯度），而无需像牛顿法那样计算和存储Hessian矩阵。这使得它特别适合处理大规模问题，因为存储需求仅与问题维度成线性关系，而非二次关系。

该算法具有超线性收敛速度，特别适合解决对称正定线性方程组。在非线性优化问题中，通常与线搜索策略配合使用，形成非线性共轭梯度法，这类变种在机器学习等领域有广泛应用。

共轭梯度法的另一个显著优势是算法参数的自适应性，不需要人为设置步长等参数，这使得它在实际应用中更加鲁棒和方便。