最优化DFP牛顿法

资 源 简 介

最优化DFP牛顿法

详 情 说 明

DFP（Davidon-Fletcher-Powell）方法是拟牛顿法中的经典算法之一，它通过构造近似的Hessian矩阵逆来避免直接计算二阶导数，从而降低计算复杂度。该方法特别适用于求解多维函数的极小值问题，在无约束优化中表现优异。

核心思想： 拟牛顿条件：通过迭代更新近似矩阵，使其满足割线方程（即梯度差与变量差的关系）。 矩阵修正：每次迭代中，利用当前点的梯度信息和参数更新量，通过秩二修正公式调整近似Hessian逆矩阵。 步长搜索：通常结合线搜索（如Armijo准则）确定步长，确保目标函数值单调下降。

实现流程： 初始化起点和单位矩阵作为Hessian逆的初始近似。 计算当前梯度，确定搜索方向（负梯度与近似矩阵的乘积）。 执行线搜索找到合适步长，更新参数。 根据梯度变化和参数变化量修正近似矩阵，重复直至收敛。

优势与局限： DFP法相比牛顿法节省了Hessian计算开销，且具有超线性收敛速度；但对初始矩阵敏感，可能因舍入误差导致数值不稳定。其改进版BFGS算法在实际中更为常用。

扩展思考： 该方法的本质是通过一阶信息逼近二阶特性，适合梯度易求但Hessian复杂的问题。在机器学习中，此类方法可用于逻辑回归等模型的参数优化。