基于QR正交分解的最小二乘法

资 源 简 介

基于QR正交分解的最小二乘法

详 情 说 明

QR正交分解最小二乘法是一种稳定且高效的线性最小二乘问题求解方法。该方法通过矩阵的正交三角化来避免直接求解法方程可能带来的数值不稳定问题。

核心思路分为三个阶段：首先对系数矩阵进行QR分解，将其拆解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积；接着利用正交矩阵的特性简化最小二乘问题的形式；最后通过回代求解上三角方程组获得最优解。

相比常规的正规方程解法，QR分解法具有更好的数值稳定性，特别适用于病态矩阵或接近奇异的系数矩阵情况。该方法避免了计算系数矩阵的乘积，从而减少了条件数的平方效应，在浮点运算中能保持更高的精度。

在MATLAB实现中，通常会使用Householder反射或Givens旋转来构造正交矩阵，这些变换能保持向量的欧几里得范数不变。现代数值线性代数库往往采用分块算法来提高大规模矩阵运算的效率。

这种解法广泛应用于曲线拟合、系统辨识、统计学回归等领域，是科学计算中最基础的算法之一。