经典的GMRES算法

资 源 简 介

经典的GMRES算法

详 情 说 明

经典的GMRES（广义最小残差）算法是一种用于求解大型稀疏线性方程组的迭代方法。它特别适合处理非对称矩阵，通过构造Krylov子空间来逐步逼近方程的解。GMRES的核心思想是在每一步迭代中最小化残差的范数，确保解的质量随着迭代次数的增加而提高。

在MATLAB中实现GMRES算法时，通常会采用Arnoldi过程来构建Krylov子空间的正交基。这一过程利用Gram-Schmidt正交化来确保基向量的正交性，从而高效地生成Hessenberg矩阵。通过求解最小二乘问题，GMRES能够在不显式计算矩阵逆的情况下找到最优解。

MATLAB自带的`gmres`函数已经优化了计算效率，支持预处理技术和自定义的迭代参数。在实现自己的GMRES算法时，可以参照MATLAB内置函数的输出进行验证，确保残差收敛性和解的精度一致。如果两者结果比对成功，说明自定义实现正确，能够有效模拟标准算法行为。

此外，GMRES算法的性能受重启策略影响，重启可以限制内存使用，但可能减缓收敛速度。在实际应用中，选择合适的重启次数和预处理方法是提高效率的关键。