有限差分求解方程组

资 源 简 介

有限差分求解方程组

详 情 说 明

有限差分法是求解微分方程组的经典数值方法，通过离散化连续问题来逼近真实解。其核心思路是将微分算子替换为差分算子，常见实现方式包括以下几种：

欧拉法（显式）：最简单的单步迭代法，用当前点的斜率线性外推下一步值。优点是计算量小，缺点是精度低且稳定性差，适用于对精度要求不高的场景。

梯形法（隐式）：通过当前步和下一步斜率的平均值进行修正，属于隐式方法。虽然需要解非线性方程组（通常用迭代法），但稳定性优于显式欧拉法，适合刚性方程。

打靶法：用于边值问题，通过初值问题迭代调整边界条件。核心是将边值问题转化为初值问题的参数优化，结合牛顿迭代等算法调整初始猜测值。

四阶龙格库塔法： 显式：通过四个中间斜率加权平均，精度达O(h⁴)，是常微分方程求解的主流方法。 隐式：如Gauss-Legendre方法，通过联立方程求解中间斜率，适合高精度或刚性系统，但计算复杂度显著增加。

选择方法时需权衡计算量、精度和稳定性。显式方法易实现但受步长限制；隐式方法稳定性强，适合复杂系统，但需额外求解步骤。