数值分析课件

资 源 简 介

数值分析课件

详 情 说 明

数值分析是研究用计算机求解数学问题的数值方法及其理论的学科，它是数学与计算机科学之间的重要桥梁。以下从几个核心模块介绍数值分析的基本框架：

误差分析 数值计算无法避免误差。绝对误差、相对误差和有效数字等概念帮助我们量化计算精度。舍入误差和截断误差是两类主要误差来源，算法设计时需平衡二者的影响。

插值法与函数逼近 通过已知离散数据点构造连续函数，拉格朗日插值和牛顿插值是经典方法。样条插值能保证分段光滑性，适用于工程场景。最小二乘法则用于数据拟合中的误差最小化。

数值积分与微分 牛顿-科特斯公式（如梯形法、辛普森法）将积分转化为函数值的加权和。高斯求积通过优化节点位置提高精度。数值微分则用差分逼近导数，需警惕误差放大问题。

线性方程组求解 直接法（如高斯消元、LU分解）适合稠密矩阵，迭代法（如雅可比迭代、共轭梯度法）则针对大型稀疏系统。病态矩阵的条件数分析至关重要。

非线性方程与优化 二分法、牛顿法及其变种用于单变量求根。最优化问题涉及梯度下降、拟牛顿法等，需考虑收敛性与步长控制。

数值分析的核心思想是：将连续问题离散化，通过可计算的有限步骤获得近似解，同时评估解的可靠性与效率。掌握这些方法对科学计算和工程仿真具有重要意义。