设一个小孩在平面上沿着某曲线行走，此曲线由时间参数曲线确定。假设小孩借助于一个长度为 的硬木棒拖着或推着一个玩具，试求玩具的平面轨迹。...

资 源 简 介

设一个小孩在平面上沿着某曲线行走，此曲线由时间参数曲线确定。假设小孩借助于一个长度为 的硬木棒拖着或推着一个玩具，试求玩具的平面轨迹。...

详 情 说 明

在运动学问题中，当考虑一个小孩通过固定长度的硬木棒牵引玩具的情况时，玩具的轨迹会形成与小孩路径密切相关的约束运动。这个经典问题展示了如何通过几何约束条件确定从动体的运动路径。

小孩的行走路径由时间参数曲线描述，即每个时刻t对应平面上的位置坐标(x(t),y(t))。硬木棒的长度L建立了小孩与玩具之间的刚性连接约束，这意味着在任何时刻，玩具的位置必须位于以小孩当前位置为中心、半径为L的圆上。

玩具的运动方向取决于它是被"拖动"还是"推动"：当硬木棒处于拉伸状态时，玩具位置向量与小孩速度向量之间形成特定的角度关系；而在推动状态时角度关系会有所不同。通过建立这种几何约束关系，可以推导出玩具位置必须满足的微分方程。

求解这个系统的关键在于将硬木棒的约束条件数学化。需要建立玩具位置与小孩位置之间的向量关系，并考虑小孩运动时玩具位置的变化率。最终得到的轨迹方程会表现出有趣的特性：玩具路径通常是小孩路径的某种"平滑"版本，其曲率变化受到硬木棒长度的直接影响。

这类问题在机器人路径规划、车辆拖挂系统设计中都有实际应用价值，展示了如何通过简单几何约束产生复杂的运动轨迹。