拟牛顿法的BFGS算法

资 源 简 介

拟牛顿法的BFGS算法

详 情 说 明

BFGS算法是最优化领域中一种高效且鲁棒的拟牛顿方法，特别适用于无约束优化问题。作为拟牛顿法的经典实现，它通过逐步逼近目标函数的Hessian矩阵来避免直接计算二阶导数。

算法核心思想体现在以下几个关键环节：首先构建目标函数的局部二次模型，通过当前点的梯度信息和历史迭代数据来更新近似Hessian矩阵的逆。BFGS名字来源于四位发明者的姓氏首字母，其更新公式保持矩阵的正定性，这是算法稳定性的重要保障。

在实际应用中，BFGS算法表现出三个显著优势：只需要一阶导数信息、具有超线性收敛速度、对初始点选择不敏感。典型实现流程包括初始化近似Hessian矩阵、计算搜索方向、进行线搜索确定步长、更新当前点和近似矩阵等步骤。

为保证算法有效性，通常会设置双重终止条件：梯度范数阈值控制收敛精度，最大迭代次数防止无限循环。现代优化库中的BFGS实现还会结合Wolfe条件进行自适应步长选择，并采用数值稳定的矩阵更新策略。对于非凸问题，算法通过维持正定矩阵的性质仍能保持较好的搜索方向。