GMRES迭代模板程序

资 源 简 介

GMRES迭代模板程序

详 情 说 明

GMRES（广义最小残差法）是一种用于求解大型稀疏非对称线性方程组的迭代算法，由Barrett等人在1993年的模板解线性方程组中系统化提出。该算法通过构建Krylov子空间来逐步逼近方程的解，特别适合处理系数矩阵为非对称的情况。

算法核心是通过Arnoldi过程在迭代中构建正交基，并在每个重启周期内最小化残差范数。其模板程序通常包含以下关键参数：系数矩阵A、初始解估计x、右端项b、重启频率restrt、最大迭代次数max_it以及收敛容差tol。程序会输出最终解向量x、收敛标志和迭代过程中计算的残差历史。

GMRES的优势在于不需要存储完整的系数矩阵，只需矩阵-向量乘积操作，这使其特别适合大规模问题。重启机制(restrt参数)的引入是为了控制内存消耗，因为算法需要存储整个Krylov子空间基。实际应用中需要权衡重启频率与收敛速度的关系——频繁重启会减少内存占用但可能降低收敛速度。

数值稳定性方面，GMRES通过Householder变换或改进的Gram-Schmidt过程确保正交化质量。当预处理技术配合使用时，能显著提升其收敛性能。收敛性分析显示，对于正定矩阵该方法保证收敛，但一般非对称矩阵的收敛理论仍存在挑战。