泊松方程正方形域的数值求解

资 源 简 介

泊松方程正方形域的数值求解

详 情 说 明

泊松方程是数学物理中常见的椭圆型偏微分方程，在电磁学、流体力学等领域有广泛应用。对于正方形域的泊松方程数值求解，我们可以采用SOR（逐次超松弛）方法来实现高效的计算。

SOR方法是高斯-赛德尔迭代法的改进版本，通过引入松弛因子ω来加速收敛。对于正方形域，我们可以先进行网格划分，将区域离散化为均匀的网格点。在每个内部网格点上，利用五点差分格式来近似泊松方程中的拉普拉斯算子。

在MATLAB实现中，通常会先定义正方形域的边界条件，初始化解矩阵，然后进行迭代求解。关键步骤包括：计算残差、应用SOR公式更新解、检查收敛条件。松弛因子ω的选择对收敛速度至关重要，一般在1到2之间取值。

值得注意的是，对于正方形域的特殊性，我们可以利用其几何对称性来优化计算。同时，MATLAB的矩阵运算特性使得这个实现可以避免显式的循环，从而获得更好的性能。

通过这种方法，我们能够获得泊松方程在正方形域上的稳定数值解，为进一步的物理问题分析提供基础。