高斯消去法

资 源 简 介

高斯消去法

详 情 说 明

高斯消去法是线性代数中求解方程组的基础算法之一，其核心思想是通过初等行变换将系数矩阵转化为上三角矩阵，再通过回代求解未知数。整个过程分为两个主要阶段：前向消元和回代求解。

在MATLAB实现中，通常会封装成函数形式以提高复用性。算法开始时，程序会检查矩阵是否为方阵，确保方程组有唯一解的可能性。前向消元阶段通过选取主元元素，逐行消除下方行的对应元素，逐步构造出上三角矩阵。这个过程中需要注意处理主元为零的情况，通常会引入行交换操作。

当矩阵被规约成上三角形式后，进入回代阶段。从最后一行开始，依次求解每个变量，并将已知的解代入前面的方程。MATLAB实现可以利用向量化运算来优化这一过程，避免显式的循环操作。

该算法不仅适用于常规的线性方程组求解，还可以作为其他数值方法的基础模块。比如在计算矩阵逆、行列式值时，都可以基于高斯消去法的变体来实现。需要注意的是，实际应用中通常会加入选主元策略来提高数值稳定性，避免舍入误差的累积效应。