共轭梯度法求函数最小值

资 源 简 介

共轭梯度法求函数最小值

详 情 说 明

共轭梯度法是一种用于求解无约束优化问题的高效迭代算法，特别适合处理大规模稀疏矩阵问题。该算法通过构造一系列共轭方向，在有限步内收敛到二次函数的极小值点。

在Matlab中实现共轭梯度法时，通常需要以下几个关键步骤：首先定义目标函数及其梯度表达式。对于二次函数，这包括确定正定矩阵和向量。然后初始化起始点、梯度向量和搜索方向。

算法核心在于迭代过程中计算步长因子，更新当前点位置，计算新的梯度向量，并确定共轭方向。每次迭代都保证新的搜索方向与之前的所有方向共轭，这使得算法能在n步内（n为变量维度）收敛到精确解。

对于非二次函数，共轭梯度法需要通过线性搜索来确定最优步长。常用的线性搜索策略包括精确线性搜索和Armijo-Goldstein准则等。在Matlab中可以利用内置优化函数或自行实现这些搜索策略。

实现时需要注意处理数值稳定性问题，特别是重置搜索方向的条件。常用的重置策略包括每n次迭代重置为最速下降方向，或者当连续两次迭代的梯度不正交时进行重置。

共轭梯度法相比最速下降法有更快的收敛速度，同时又避免了牛顿法需要计算和存储Hessian矩阵的缺点，使其成为解决大规模优化问题的理想选择。