MATLAB实现的隐式QR分解矩阵特征值求解器

资 源 简 介

本项目提供基于隐式QR方法的MATLAB子程序，可将任意实矩阵转化为上Hessenberg形式，并通过双步隐式QR迭代高效求解全部特征值与特征向量。适用于数值计算、线性代数及工程仿真领域。

详 情 说 明

基于隐式QR分解的实矩阵特征值与特征向量通用求解器

项目介绍

本项目实现了一个通用的MATLAB子程序，专门用于求解任意实矩阵的全部特征值和对应的特征向量。程序采用隐式QR方法，通过海森伯格化预处理将矩阵转化为上Hessenberg形式，然后运用带位移的双步隐式QR迭代算法，高效稳定地计算出矩阵的全部特征值和特征向量。该程序支持处理包括对称矩阵、非对称矩阵在内的各种实矩阵类型，并具备良好的数值稳定性和收敛性。

功能特性

• 通用性强：支持任意n×n实矩阵的特征值问题求解，包括对称矩阵和非对称矩阵
• 数值稳定性高：采用海森伯格化预处理技术，减少计算过程中的数值误差
• 收敛效率优：使用带位移的双步隐式QR迭代算法，加速收敛过程
• 特征向量精确：结合反迭代技术求解特征向量，提高计算精度
• 参数可配置：支持自定义收敛容差和最大迭代次数
• 信息完整：提供详细的收敛信息，包括迭代次数、收敛状态和残差范数

使用方法

基本调用格式

[eigenvalues, eigenvectors, info] = main(A)

完整参数调用

[eigenvalues, eigenvectors, info] = main(A, tol, max_iter)

输入参数

• A：n×n的实矩阵（支持稠密矩阵和稀疏矩阵格式）
• tol（可选）：收敛容差，默认值为1e-10
• max_iter（可选）：最大迭代次数，默认值为1000

输出参数

• eigenvalues：n×1的复数向量，包含矩阵的全部特征值
• eigenvectors：n×n的复数矩阵，每一列对应一个特征值的特征向量
• info：结构体，包含实际迭代次数、收敛状态和残差范数等信息

示例代码

% 生成测试矩阵 A = rand(5); % 计算特征值和特征向量 [eigenvalues, eigenvectors, info] = main(A); % 显示结果 disp('特征值:'); disp(eigenvalues); disp('收敛信息:'); disp(info);

系统要求

• MATLAB R2016a或更高版本
• 支持的操作系统：Windows、Linux、macOS

文件说明

主程序文件实现了完整的特征值求解流程，包含矩阵海森伯格化预处理、带位移的双步隐式QR迭代计算特征值、以及通过反迭代技术求解对应特征向量等核心功能。程序采用模块化设计，确保数值计算的稳定性和效率，同时提供详细的收敛状态信息以便用户监控求解过程。