MATLAB蝶形算法实现：高效一维与二维快速傅里叶变换

资 源 简 介

本项目利用蝶形算法实现了一维与二维FFT，通过分治策略和行列分解法大幅提升运算效率，适用于信号处理与图像分析，代码简洁高效，便于集成。

详 情 说 明

基于蝶形算法的一维与二维快速傅里叶变换实现

项目介绍

本项目实现了基于蝶形计算的一维与二维快速傅里叶变换（FFT）算法。采用分治递归策略，通过高效的蝶形运算将离散傅里叶变换（DFT）的计算复杂度从O(N²)降低至O(N log N)。项目包含完整的正向变换（时域到频域）和逆向变换（频域到时域）功能，支持复数信号处理，并确保逆向变换能够高精度重构原始信号。

功能特性

• 高效一维FFT：支持长度为2ⁿ的复数向量变换，自动处理实数输入
• 二维FFT实现：基于行列分解法，支持M×N维复数矩阵变换（M、N均为2的幂次方）
• 双向变换能力：提供正向FFT（分析）和逆向FFT（合成）功能
• 高精度重构：逆向变换结果与原始信号的误差小于1e-12
• 灵活参数配置：支持变换方向选择和缩放因子自定义
• 频域分析：可选输出频域幅值谱和相位信息

使用方法

一维FFT示例

% 生成测试信号（128点复数序列） x = complex(randn(128,1), randn(128,1));

% 执行正向FFT（时域→频域） X = fft_1d(x, 'forward');

% 执行逆向FFT（频域→时域） x_recon = fft_1d(X, 'inverse');

% 验证重构精度 max_error = max(abs(x - x_recon)); % 应小于1e-12

二维FFT示例

% 生成64×64测试矩阵 img = complex(randn(64), randn(64));

% 二维正向FFT F = fft_2d(img, 'forward');

% 二维逆向FFT img_recon = fft_2d(F, 'inverse');

系统要求

• MATLAB R2018a 或更高版本
• 支持复数运算的基本环境
• 内存需求：取决于输入数据规模（建议≥4GB）

文件说明

主程序文件集成了核心变换功能的演示与验证流程，包含一维和二维信号的完整处理示例。具体实现了算法性能测试、精度验证对比以及变换结果的可视化展示，通过实际运算案例直观体现蝶形算法的计算效率与数值准确性。