MATLAB实现基于QR分解的最小二乘线性求解器

资 源 简 介

本项目提供基于QR分解的最小二乘法求解工具，专门处理超定线性方程组。通过正交分解避免矩阵病态问题，提供数值稳定的解算方案，适用于科学计算和数据分析中的回归问题。

详 情 说 明

基于QR分解的最小二乘法线性求解器

项目介绍

本项目实现了一个基于QR正交分解的最小二乘问题求解器。通过将系数矩阵进行QR分解，将原始的最小二乘问题转化为易于求解的上三角系统，从而有效解决超定方程组（方程个数多于未知数个数的方程组）。该方法在矩阵条件数较大或数值不稳定情况下表现优异，相比传统的正规方程法具有更好的数值稳定性，能够有效避免矩阵病态问题。

功能特性

• 高精度求解：采用QR分解技术（支持Householder变换和Givens旋转两种方法），确保计算精度
• 数值稳定性：专门针对病态矩阵和条件数较大的问题进行了优化处理
• 灵活配置：支持用户自定义容差参数，控制求解精度
• 完整输出：返回最小二乘解、残差范数和求解状态信息
• 鲁棒性强：具备完善的输入验证和错误处理机制

使用方法

基本调用格式

[x, residual_norm, status] = main(A, b) [x, residual_norm, status] = main(A, b, tol)

参数说明

• A：系数矩阵（m×n矩阵，要求m≥n且列满秩）
• b：观测向量（m维列向量）
• tol：可选容差参数，控制迭代精度（默认值：1e-10）

输出结果

• x：最小二乘解（n维列向量，使得‖Ax-b‖₂最小）
• residual_norm：残差范数（标量，表示‖Ax-b‖₂的值）
• status：求解状态标志位（指示收敛状态）

示例代码

% 生成测试数据 A = rand(100, 5); b = rand(100, 1);

% 调用求解器 [x, residual, status] = main(A, b, 1e-12);

% 显示结果 fprintf('求解状态: %dn', status); fprintf('残差范数: %en', residual); disp('最小二乘解:'); disp(x);

系统要求

• MATLAB R2018a或更高版本
• 支持矩阵运算的基本MATLAB环境
• 无需额外工具箱

文件说明

主程序文件实现了完整的QR分解最小二乘求解流程，包括输入参数验证、QR分解计算（同时支持Householder变换和Givens旋转两种算法选择）、上三角系统回代求解、残差计算以及求解状态判断等核心功能。该文件通过模块化设计将复杂的数值计算过程封装为易于使用的接口，为用户提供稳定可靠的最小二乘问题解决方案。