基于匈牙利算法的指派问题优化分析工具

资 源 简 介

该项目利用MATLAB实现了针对经典指派问题的匈牙利算法优化工具。其核心功能是解决如何将N项任务分配给N个执行者，使得总成本最低或总效益最高。 匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行或列，使得每一行或列中至少有一个为零的元素，经过修正后，直至在不同行、不同列中至少有一个零元素，从而得到与这些零元素相对应的一个完全分配方案。 当它用于效益矩阵时，这个完全分配方案就是一个最优分配，它使总的效益为最小。这种方法总是在有限步内收敛于一个最优解。

详 情 说 明

基于匈牙利算法的指派问题优化分析项目说明

项目介绍

本项目是一个专门用于解决经典指派问题的线性规划优化工具。指派问题的核心在于如何建立 $N$ 项任务与 $N$ 个执行者之间的一一对应关系，使得在满足所有分配要求的前提下，实现总成本最小化或总效益最大化。该工具基于严谨的匈牙利算法逻辑，通过矩阵变换与覆盖线搜索，能够在线性时间内收敛得到全局最优解。

功能特性

1. 标准化指派求解：支持任意 $N times N$ 的成本矩阵输入，核心逻辑严格遵循匈牙利算法的五个标准步骤。
2. 双重目标适配：默认求解最小化成本问题，同时内置了效益矩阵转换机制，通过简单的矩阵变换即可处理最大化效益分配场景。
3. 迭代过程追踪：算法记录并输出从矩阵归约到达到最优指派所需的迭代次数，体现算法的收敛效率。
4. 智能状态标记：代码实现了独立零元素（Star Zeros）与试验零元素（Prime Zeros）的动态标记与转换逻辑，确保复杂矩阵下的路径搜索准确性。
5. 直观结果可视化：通过图形化界面展示原始成本分布与最终指派方案，利用颜色与形状区分最优决策。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 核心函数依赖：依赖于 bsxfun、find 以及基础绘图工具箱，无需安装第三方集成插件。

实现逻辑与算法流程

代码的运行逻辑分为数据初始化、矩阵预处理、循环增广路径寻找以及结果展示四个阶段，具体逻辑如下：

1. 矩阵预处理阶段 首先进行行归约，使每行减去其最小值，至少产生一个零元素；随后根据行归约后的结果进行列归约。接着系统会进行初步指派，在归约后的矩阵中寻找互不相关的零元素，并作为初始的独立零元素进行标记。

2. 核心状态转换模型 代码采用状态机结构（Step 3 - Step 7）控制算法演进：

• 掩模映射：使用状态矩阵记录元素状态，其中 1 代表独立零元素，2 代表试验零元素。
• 覆盖搜索：算法通过覆盖包含独立零元素的列来检查当前分配是否已达到最优。
• 零元素转换：若未达到最优，则在未覆盖区域寻找零元素并标记为试验零元素。
• 路径增广：若发现此行无独立零元素，则触发增广路径搜索（L-M 路径逻辑），通过反转路径上的零元素状态（独立变普通，试验变独立）来增加独立零元素的总数。
• 矩阵调整：当无法找到新的零元素时，计算未覆盖区域的最小值，调整矩阵元素以产生新的零元素。

3. 安全退出机制 为防止异常输入或极端情况下的无限循环，算法内置了 1000 次最大迭代的安全阈值，确保计算资源的安全性。

关键函数与细节分析

• 指派求解主函数：

该部分实现了复杂的矩阵掩模逻辑。它管理 rowCover 和 colCover 向量来跟踪哪些行或列已被覆盖。通过 any 和 logical 索引操作实现高效的矩阵元素筛选。

• 未覆盖零元素定位逻辑：

专门用于在当前覆盖状态下检索矩阵中的零元素坐标。这是算法决策进入路径搜索还是矩阵调整阶段的关键依据点。

• 增广路径调整逻辑：

实现了典型的交替路径搜索。它从特定的试验零元素出发，交替寻找同列中的独立零元素和同行中的试验零元素，建立一连串的坐标链条，并通过状态翻转来优化分配结构。

• 可视化渲染逻辑：

该部分将数值矩阵转化为二维坐标系。利用散点绘制功能，将执行者设为纵轴，任务设为横轴。所有任务对应的成本值分布在网格中，通过灰色与红色的视觉对比，直观勾勒出最优分配的路径。

使用方法

1. 配置矩阵：打开项目主程序，在输入数据设置区域修改 $N times N$ 成本矩阵。
2. 设定目标：如需最大化效益，取消成本矩阵转换逻辑的注释。
3. 运行程序：执行该脚本，MATLAB 命令行将实时打印收敛迭代次数、最小化总成本以及详细的执行者到任务的配对信息。
4. 查看图表：程序会自动生成一张可视化结果图，红色框标注的位置即为最优的指派方案。