FastICA信号白化预处理算法实现

资 源 简 介

该项目实现了快速独立成分分析（FastICA）中至关重要的白化预处理算法。其核心功能是将原始观测到的混合信号向量进行线性变换，使得变换后的分量具有零均值、互不相关且方差为单位值。实现过程包括首先对输入数据进行中心化处理，即减去各分量的均值，以保证数据的均值为零。随后计算中心化数据的协方差矩阵，并利用特征值分解（EVD）提取协方差矩阵的特征向量和特征值。通过构造白化矩阵，将原始数据投影到由特征向量构成的空间中并进行尺度缩放。这一预处理步骤能够有效去除信号分量之间的二阶相关性，将后续ICA寻找解混合矩阵的任务

详 情 说 明

基于MATLAB的FastICA数据白化预处理算法实现

项目介绍

本项目实现了独立成分分析（ICA）中至关重要的预处理步骤——数据白化。白化过程通过对观测信号进行线性变换，不仅去除了原始分量之间的二阶相关性，还统一了各分量的缩放尺度（使方差为单位值）。这一步骤是FastICA算法高效运行的基石，它将后续寻找解混合矩阵的任务从一般的非奇异矩阵搜索简化为正交矩阵搜索，从而显著降低了计算量，并提高了迭代收敛的稳定性。

功能特性

• 模拟多路独立信号生成：可以生成包括正弦波、方波和高斯白噪声在内的多种典型测试信号。
• 线性混合模拟：通过随机生成的混合矩阵，将独立信号转化为具有相关性的观测信号。
• 严格的中心化处理：通过减去均值的方式，确保处理数据满足零均值的统计要求。
• 基于特征值分解（EVD）的白化：利用协方差矩阵的特征空间进行变换，实现去相关和归一化。
• 自动验证机制：计算处理后数据的协方差矩阵，并通过Frobenius范数量化评估其与单位阵的接近程度。
• 多维度可视化对比：提供时间波形图以及二维分布散点图，直观展示信号从相关到不相关的形态演变。

使用方法

1. 启动MATLAB软件环境。
2. 将脚本文件所在的目录设置为当前工作空间。
3. 直接运行该脚本。
4. 程序将在命令行窗口输出白化后的协方差矩阵及验证误差值，同时弹出两个图形窗口展示处理效果。

系统要求

• 环境需求：MATLAB R2016a 或更高版本。
• 必备工具箱：基础MATLAB环境即可（无需额外安装符号计算或统计工具箱）。

实现逻辑与算法细节

该算法的实现完全遵循FastICA的标准数学模型，具体流程如下：

1. 信号混合阶段 通过构造时间序列，生成三个独立的信号源构成矩阵 S。随后定义一个 3x3 的非奇异混合矩阵 A，执行矩阵乘法得到混合观测信号矩阵 X。

2. 数据中心化（Centering） 计算混合信号每一行的统计均值，通过 repmat 函数构造均值矩阵，并在原始观测数据中减去该均值。此操作保证了后续协方差矩阵计算的准确性，使信号分布在坐标原点附近。

3. 特征空间分析 计算中心化信号的协方差矩阵。调用 MATLAB 内置的 eig 函数进行特征值分解，提取出特征向量矩阵 E 和包含特征值的对角矩阵 D。特征向量定义了数据空间的主要轴向，而特征值反映了这些轴向上的方差大小。

4. 构造白化矩阵与变换 根据公式 W = D^(-1/2) * E' 构造白化矩阵。该变换将信号投影到特征向量构成的正交空间中，并根据特征值的负二分之一次方进行缩放，从而消除分量间的协方差使其变为 0，且每个分量的方差变为 1。

5. 逆过程记录（去白化矩阵） 同时计算并保存了去白化矩阵 Q = E * D^(1/2)，该矩阵在实际 ICA 算法中通常用于将估计出的独立分量还原到原始观测信号的尺度空间。

关键函数与评价指标分析

• cov 函数：用于提取数据各维度间的二阶统计特征，是衡量相关性的指标。
• eig 函数：实现特征分解，是白化算法能够剥离信号相关性的几何核心。
• inv(sqrt(D))：实现尺度的归一化。在计算过程中，为了防止由于特征值为零导致的计算不稳定，理论上可加入极小偏移量。
• Frobenius 范数验证：程序最后通过 norm(verified_cov - eye(...)) 计算误差。若该值接近 0（通常为 10 的负 15 次方量级），则证明变换后的信号之间已无线性相关性，达到了理想的白化效果。
• 散点图分布：由混合后的椭圆状分布转变为白化后的近圆形/球形分布，动态展示了去相关化在空间几何上的物理意义。