贝叶斯分类与线性分类器实验系统

资 源 简 介

本项目通过MATLAB环境构建了一个完整的贝叶斯分类实验框架，旨在深入探讨模式识别中的基本分类方法，并实现基于贝叶斯公式的线性分类器设计。该系统的核心功能包括：第一，数据预处理与统计参数提取，通过对已知样本进行分析，计算各类别的先验概率以及在特征空间中的均值向量和协方差矩阵；第二，判别函数构建，根据贝叶斯决策理论，在最小错误率准则下设计线性判别式，特别是在假设各类协方差矩阵相等的情况下，推导出最优线性决策边界；第三，自动化分类执行，系统能够接收未知类别的特征向量，通过计算后验概率的大小，将样本自动归入概率

详 情 说 明

贝叶斯分类与线性分类器实验设计系统

项目介绍

本项目是一个基于 MATLAB 环境开发的实验教学与算法验证系统，专注于模式识别中的贝叶斯决策理论应用。系统通过模拟具有统计特性的多维数据，实现了在最小错误率准则下的线性分类器设计。该实验系统完整展示了从原始数据生成、统计特征提取、判别函数构建到分类预测及图形化评估的全过程，旨在帮助使用者直观理解先验概率、似然概率与后验概率在实际分类任务中的动态交互机制。

功能特性

• 统计驱动的仿真数据生成：内置基于多元正态分布的数据生成器，可自定义类别均值与协方差矩阵，模拟不同重叠程度的特征空间。
• 参数估计与模型训练：系统能够自动从已知标签的训练集中计算各类别的先验概率、均值向量以及类内联合协方差矩阵，完成分类器参数的闭式求解。
• 线性判别决策引擎：基于贝叶斯定理在各类别协方差矩阵相等的假设下，推导出最优线性决策面方程，实现对未知样本的快速判别。
• 后验概率量化分析：引入全概率公式与 Softmax 思想，将原始判别分值映射为直观的后验概率评分，量化分类的可信度。
• 多维度可视化评估：系统可自动生成分类报表，并绘制包含待测样本点、错误分类标识、线性决策边界以及概率分布权重的二维散点图，实现分类结果的直观化。

实现逻辑分析

系统的核心算法流程严格遵循贝叶斯决策理论，具体逻辑步骤如下：

1. 样本空间构建：使用随机数引擎生成两个类别的训练样本，每个类别遵循特定的均值方向和共享的协方差矩阵，以此构造满足线性分类前提的特征分布。
2. 统计参数提取：通过最大似然估计方法计算样本统计量。先验概率由各类样本比例决定；均值向量通过按列求平均获取；系统通过计算两类协方差矩阵的算术平均值来估计共享协方差矩阵，这是构建线性判别函数的关键步骤。
3. 线性判别式构建：基于对数似然比推导判别函数。计算权重向量（协方差矩阵逆与均值向量的乘积）和偏置项（包含均值二次型项与先验概率的对数修正），形成形如 g(x) = W'x + w0 的线性函数。
4. 分类决策逻辑：对于测试集中的每一个样本，分别计算对应两个类别的判别函数值。根据最小错误率决策准则，将样本归入得分较高的类别。
5. 概率转换算法：为了防止指数爆炸并提高数值稳定性，系统在计算后验概率时减去了判别分值的最大值，通过指数变换和归一化处理得到样本属于各类的精确概率百分比。
6. 边界可视化算法：利用等值线提取技术，在特征平面内寻找判别分值差值为零的点集，从而精确绘制出理论上的线性决策边界。

关键算法与算法细节

• 线性判别分析 (LDA) 原理：系统核心采用的是在各类别协方差矩阵相等假设下的贝叶斯准则。在这种特殊情况下，二次判别项会互相抵消，从而产生线性的分类边界。
• 协方差融合技术：代码通过 (S1 + S2) / 2 计算联合协方差，确保了分类器在处理两类分布时的稳健性，减少了因单类样本波动带来的估计偏差。
• 数值稳定性优化：在后验概率计算环节，系统使用了 exp(g - max_g) 的处理技巧，这是深度学习中 Softmax 层的标准做法，有效避免了 MATLAB 处理超大指数值时的溢出问题。
• 多维正态分布 PDF 计算（可选）：系统辅助函数提供了标准的多维高斯概率密度公式实现，涵盖了行列式计算、逆矩阵运算及指数偏移项，用于验证判别函数的理论正确性。

使用方法

1. 环境准备：确保计算机已安装 MATLAB (建议版本 R2016b 及以上) 且具备基础工具箱。
2. 执行实验：在 MATLAB 命令行窗口直接运行主程序函数。系统将自动生成随机数据并开始训练过程。
3. 查看报表：运行结束后，MATLAB 的控制台会打印出训练得到的均值估计值、测试准确率以及部分样本的后验概率对照表。
4. 结果分析：系统会自动弹出可视化窗口。红色与蓝色点代表不同类别，带“X”标记的点代表被错误分类的样本，黑色的实线即为系统计算出的最优线性决策边界。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 硬件要求：基础办公配置即可，程序经过优化，即使在低配置机器上也能实现毫秒级的分类响应与绘图。
• 所需工具箱：Statistics and Machine Learning Toolbox（用于调用 mvnrnd 等统计分布函数）。