Lyapunov指数计算与混沌系统分析工具箱

资 源 简 介

本项目致力于在MATLAB环境下实现多种计算动力系统Lyapunov指数的算法。系统包含针对离散映射系统和连续时间动力系统的核心计算模块。针对离散映射，实现了经典的导数累积法；针对连续动力系统如Lorenz系统、Rossler系统等，实现了基于Wolf算法的线性化方程积分法以及基于QR分解的正交化方法。核心功能包括： 能够计算系统的全谱Lyapunov指数，而不只是最大指数； 提供不同维度的经典混沌映射示例，如Logistic映射、Henon映射的指数轨迹绘制； 针对ODE定义的连续系统，通过联立求解原方

详 情 说 明

Lyapunov指数计算与动力系统分析系统

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB环境开发的非线性动力学分析工具，旨在提供一套完整的Lyapunov指数（LE）计算方案。系统涵盖了从离散映射到连续时间动力系统的多种核心算法，并支持针对实验原始时间序列的指数提取。通过数值模拟与定量分析，该系统能够揭示动力系统从规则运动向混沌状态演化的本质特征，计算结果包括全谱Lyapunov指数、Kaplan-Yorke维数及最大Lyapunov指数（MLE）。

功能特性

• 多维系统支持：支持一维、二维离散映射系统以及三维（及以上）连续动力系统的计算。
• 全谱计算能力：通过正交化方法获取系统所有的Lyapunov指数，而不仅限于最大值。
• 参数演化分析：具备绘制LE随控制参数变化的谱图能力，直观呈现系统分岔与混沌区域。
• 高精度积分求解：内置四阶龙格-库塔（RK4）算法处理连续系统的状态演化。
• 时间序列提取：针对无法直接获得动力学方程的场合，提供小数据量法从单变量序列中重构相空间并估计最大Lyapunov指数。
• 分形维数计算：基于计算出的LE全谱，自动给出Kaplan-Yorke（L-Y）维数。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 硬件要求：标准个人电脑即可，计算高分辨率参数谱时建议配置较高性能CPU。

功能实现逻辑与代码架构

系统逻辑分为四个核心板块，通过统一的集成环境运行：

1. 离散动力系统分析模块

• 一维Logistic映射：通过导数累积法实现。系统遍历控制参数r，在跳过瞬态迭代后，对映射函数的导数绝对值取对数并求均值，通过判断指数正负来识别稳定点、周期轨道或混沌状态。
• 二维Henon映射：采用了雅可比矩阵累乘与QR分解结合的方法。在每一步迭代中计算当前点的雅可比矩阵，利用QR分解对切向量进行正交化处理，通过对R矩阵对角线元素的对数累加，有效避免了长时演化后的数值溢出，准确获取 $lambda_1$ 和 $lambda_2$。

1. 连续动力系统分析模块 (以Lorenz系统为例)

• 扩展方程组构建：该模块不仅求解原始的3维ODE方程，还联立求解了9维的切空间演化方程（$dPhi/dt = J cdot Phi$），实时跟踪切向量的线性化演变。
• Wolf算法与QR正交化：系统采用固定步长的四阶龙格-库塔法进行积分。为防止切向量在演化过程中向最大扩展方向重合，程序每执行一个积分步长便进行一次Gram-Schmidt正交化（通过QR分解实现），并将正交基作为下一步演化的初始切向量。
• 收敛性跟踪：实时记录并绘制LE随时间的收敛曲线，确保最终输出的指数值处于平稳状态。

1. 时间序列分析模块

• 相空间重构：利用嵌入维数（m）和延迟时间（tau）对单变量时间序列进行重构。
• 小数据量法逻辑：首先利用FFT（快速傅里叶变换）确定序列的平均周期，用于在寻找最近邻点时排除轨道自身邻域。计算每个点与其最近邻点在演化k个步长后的散离程度，通过对所有点取对数平均，得到演化曲线 $ln(d)$。
• 线性回归提取：对演化曲线的线性增长段进行多项式拟合，其斜率与采样频率的乘积即为最大Lyapunov指数的估计值。

1. 可视化与结果输出模块

• 系统自动生成两组对比图形：第一组展示Logistic和Henon映射随参数变化的LE谱线；第二组展示Lorenz系统的LE收敛轨迹、最终LE全谱数值、Kaplan-Yorke维数以及小数据量法拟合曲线。

关键算法细节说明

• 数值稳定性处理：在处理连续系统时，代码显式地将切空间矩阵重新赋值为正交阵Q，这是防止数值计算崩坏的关键。
• 瞬态过程通过：在所有计算中均设置了迭代/演化初始忽略期（transient），确保LE值的计算建立在系统进入吸引子之后。
• 雅克比矩阵函数化：通过子函数定义Lorenz系统的雅可比矩阵，实现了状态变量与切空间演化的动态解耦与重组。
• 分形维数算法：代码实现了完整的Kaplan-Yorke公式逻辑，通过寻找使LE累加和从正变负的临界索引，精确定位吸引子的分数维数。