基于偏微分方程的图像处理算法仿真库

资 源 简 介

该项目是一套专门针对偏微分方程（PDE）在图像处理领域应用的MATLAB算法集，旨在提供经典模型的标准实现及演化过程演示。项目包含了热传导方程（线性扩散）、各向异性扩散（Perona-Malik模型）、全变分（Total Variation）去噪以及曲率驱动扩散等核心算法。通过显式有限差分法对二阶及高阶偏微分方程进行离散化求解，实现了在滤除图像高斯噪声、椒盐噪声的同时，能够根据图像局部梯度信息自适应地保护边缘结构不被模糊。 该系统的核心逻辑在于将图像视为连续场中的初始状态，通过模拟扩散方程随时间的演化，达

详 情 说 明

基于偏微分方程的经典图像处理算法仿真库

项目介绍

本仿真库是基于MATLAB开发的数字图像处理实验系统，专注于研究和演示偏微分方程（PDE）在图像去噪、平滑与边缘保护中的应用。系统通过显式有限差分法，将图像处理过程抽象为物理学中的扩散演化过程。通过模拟初始噪声图像随时间的演变，实现了在抑制高斯及椒盐混合噪声的同时，利用非线性扩散机制自适应地保留图像的结构信息与边缘细节。

功能特性

• 多模型集成：集成了从线性到非线性的四种经典PDE扩散模型，涵盖了图像处理领域的核心演化算法。
• 混合噪声处理：系统设计了针对高斯噪声和椒盐噪声的混合处理流程，能够测试算法在复杂场景下的鲁棒性。
• 自适应边缘保护：利用局部梯度和曲率信息，动态调整扩散系数，有效解决了传统滤波算法导致的边缘模糊问题。
• 标准评估体系：自动计算峰值信噪比（PSNR）与信噪比（SNR），通过量化指标直观反映各算法的复原性能。
• 实时演化演示：程序通过迭代计算模拟连续场变化，并最终以图表形式对比不同数学模型的处理效果。

系统要求

• 运行环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 依赖工具箱：Image Processing Toolbox（图像处理工具箱）。
• 硬件建议：标准PC环境，由于采用显式方案并行度高，计算速度较快。

运行与使用方法

1. 确保测试图像（如cameraman.tif）位于MATLAB搜索路径中。
2. 直接运行主函数。
3. 程序将依次执行四种扩散算法的迭代计算。
4. 在控制台查看PSNR和SNR性能评估报告。
5. 在弹出的图形窗口中观察原始图像、噪声图像及各算法处理后的结果对比。

核心功能实现逻辑

系统通过将图像矩阵化并定义时间步长，将偏微分方程转化为离散的差分迭代格式，核心逻辑如下：

1. 数据预处理：

将原始图像归一化至[0,1]区间，模拟生成均值为0、标准差为0.1的高斯噪声，叠加密度为0.02的椒盐噪声，构造复杂的待修复场景。

1. 线性扩散（Linear Diffusion）：

实现经典的各向同性热传导方程。逻辑上采用3x3的拉普拉斯算子卷积核进行离散化，利用对称填充处理边界，图像以均匀速率在所有方向平滑，适用于去除轻微噪声但会模糊边缘。

1. Perona-Malik (P-M) 各向异性扩散：

引入梯度阈值控制扩散速度。实现中分别计算北、南、东、西四个方向的差分，并应用指数型扩散系数函数。当局部梯度大于设定的阈值时，扩散系数迅速衰减，从而在平滑平坦区域的同时“锁住”边缘。

1. 全变分 (TV) 去噪：

基于ROF模型的梯度下降实现。通过计算梯度的散度（Divergence）来对图像进行平滑，同时引入正则化参数约束复原图像与原始噪声图像的偏差。该算法能够有效剔除噪声并产生“分片常数”的视觉效果。

1. 曲率驱动扩散 (CDD)：

在扩散模型中引入平均曲率信息。系统首先计算图像的二阶导数得到平均曲率，并将其作为扩散系数的权重。其核心逻辑是利用曲率信息指导扩散，使得模型在复杂纹理区域具有更好的自适应性。

算法细节分析

• 数值稳定性控制：代码中设置了时间步长 dt = 0.15，这是为了满足显式有限差分格式的CFL稳定性条件，确保在迭代过程中能量不发散。
• 边界条件处理：在拉普拉斯计算和扩散演化中，采用了对称填充（Symmetric Padding）技术，有效避免了图像边缘在多次迭代后出现的截断效应或伪影。
• 离散梯度与散度：对于非线性模型，系统利用MATLAB内置的梯度计算结合手动实现的差分偏移，精确模拟了连续场中的散度算子。
• 正则化与防溢出：在TV和CDD算法中，通过引入 epsilon (1e-6) 微小量，解决了分母为零的数值奇异性问题，保证了复杂梯度计算的鲁棒性。