实值Noiselet变换与压缩感知图像处理工具

资 源 简 介

该项目提供了一个完整的实值Noiselet变换实现方案，专门针对压缩感知（Compressed Sensing）框架下的图像观测与重构需求。Noiselet变换以其独特的伪随机特性和与小波基等常用稀疏基之间极低的相干性（Incoherence），在信号处理领域具有极高的应用价值。本项目的功能核心在于实现了实数域内的Noiselet矩阵构造算法，有效解决了复数Noiselet在处理实值图像信号时计算复杂度高和数据量加倍的问题。具体功能包括：基于递归算法高效生成任意2的幂次方维度的正交Noiselet矩阵；实

详 情 说 明

项目说明文档：实值的Noiselet变换及其在压缩感知图像处理中的应用

项目总体介绍

本项目提供了一套完整的基于实值Noiselet变换的图像压缩感知（Compressed Sensing, CS）构建方案。Noiselet变换作为一种典型的非相干变换，其基向量在空间域具有极强的伪随机分布特性，与小波变换、离散余弦变换（DCT）等常用稀疏基之间存在极低的相干性，这使其成为压缩感知观测矩阵的理想选择。该项目重点解决了传统复数Noiselet在实值图像处理中带来的计算冗余问题，通过递归算法构造实数域正交矩阵，实现了高效的图像欠采样与高质量重构。

主要功能特性

1. 实数域Noiselet矩阵构造：实现了基于递归思想的实值Noiselet矩阵生成算法，确保生成的矩阵具有严格的正交性。
2. 压缩感知全流程模拟：涵盖了图像预处理、观测矩阵构造、信号欠采样、稀疏重构及结果评估的完整闭环。
3. 高效的二维可分离变换：支持对二维图像进行行列分别变换，有效地展示了Noiselet域的能量分布特征。
4. 鲁棒的重构算法：集成了正交匹配追踪（OMP）算法，配合DCT稀疏基，能够通过少量的观测值恢复原始图像。
5. 多维度性能评估：内置了PSNR（峰值信噪比）与SSIM（结构相似性）评价指标，并辅以重构误差图和系数直方图进行可视化分析。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB R2018a 或更高版本。
2. 必需工具箱：Image Processing Toolbox（图像处理工具箱）。
3. 硬件建议：为了确保256x256及以上分辨率图像的处理效率，建议配置4GB及以上内存。

主程序实现逻辑说明

主程序严格遵循压缩感知的数学框架，具体执行步骤如下：

1. 环境初始化与参数设定：

程序开始时清除工作空间，设置图像尺寸为256（必须是2的幂次方以便递归构造矩阵），设定采样率为30%，并读取测试图像进行归一化处理。

1. 构造变换基：

调用递归函数生成指定维度的实值Noiselet正交矩阵。随后通过计算矩阵与其转置的乘积与单位阵的范数误差，自动验证其正交性，确保变换过程的能量守恒。

1. 图像变换与特性观察：

对原始图像进行二维Noiselet变换，生成Noiselet域系数。通过观察系数分布，展示其类似于噪声的平滑分布特性，这证明了Noiselet能够将空间域的信息均匀地扩散到整个变换域。

1. 欠采样观测：

根据采样率计算观测向量的维度。利用随机置乱序列从Noiselet矩阵中抽取特定行，构成随机欠采样观测矩阵。程序模拟了真实的物理采样过程，按列对图像进行线性映射获取观测值。

1. 稀疏重构计算：

在已知原始图像在DCT域稀疏的先验条件下，程序构造了感知矩阵（观测矩阵与DCT基的乘积）。利用正交匹配追踪算法逐列寻优，通过迭代选取与残差最相关的原子，最终反变换回空间域实现图像重建。

1. 结果评价与可视化：

程序自动计算重构图像与原图的PSNR和SSIM指标。最后通过六子图布局展示原始图、Noiselet矩阵局部特征、变换域系数分布、重构结果、系数直方图以及增强后的重构误差分布。

核心算法与关键函数解析

1. 递归Noiselet矩阵生成算法：

该算法基于分治思想，通过递归嵌套构造子矩阵。在每一层级中，利用特定的正交组合算子（[V, V; V, -V]结构）扩展维度。为了符合Noiselet的伪随机特性，算法在归一化后执行了位反转置换（Bit-reversal permutation），使基向量的频率分布和相位特性趋于随机化，从而最大程度降低与稀疏基的相干性。

1. 正交匹配追踪（OMP）重构算法：

这是一种贪婪迭代算法。在每次迭代中，它计算观测向量残差在感知矩阵各原子上的投影，选取贡献最大的原子加入索引集。通过最小二乘法更新待恢复系数，并更新残差，直到达到预设的稀疏度或残差门限。这种方式在采样率较低时能以较低复杂度获得较好的重构精度。

1. 辅助性能指标算法：

程序自定义了PSNR计算函数，通过均方误差（MSE）评估像素级失真。同时实现了一个简化版的SSIM评估函数，从亮度、对比度和结构三个维度综合衡量图像质量，相比PSNR更符合人类视觉系统的感知特性。

1. 快速变换思想：

虽然主程序演示了矩阵乘法形式，但在关键算法设计中融入了FNT（快速Noiselet变换）的递归结构。这种结构使得处理大规模图像时，时间复杂度从O(N^2)降低至O(N log N)，大幅提升了实时处理的可能性。