二级倒立摆LMI算法H无穷输出反馈控制仿真项目

资 源 简 介

该项目针对具有高阶、非线性、强耦合以及本质不稳定特征的二级倒立摆系统，设计并实现了一种基于H无穷理论的输出反馈控制器。项目核心功能是利用拉格朗日方程建立系统的非线性动力学模型，并在垂直平衡点处进行线性化，导出精确的状态空间表达形式。考虑到实际物理系统中往往无法直接测量所有状态变量（如摆杆角速度或小车瞬时速度），本项目采用了输出反馈控制策略，仅利用传感器可测量的输出信号进行闭环调节。控制器设计部分充分利用了MATLAB的Robust Control Toolbox，特别是基于线性矩阵不等式（LMI）的求解器

详 情 说 明

基于LMI算法的二级倒立摆H无穷输出反馈控制系统设计与仿真

项目介绍

本项目针对具有高阶、非线性、强耦合以及本质不稳定特征的二级倒立摆系统，设计并实现了一种基于H无穷（H-infinity）理论的输出反馈控制器。通过在垂直平衡点附近对系统动力学模型进行线性化，利用线性矩阵不等式（LMI）凸优化技术求解最优控制增益。该系统旨在解决实际物理场景中无法获取全部状态变量（如角速度）的问题，仅通过测量小车位移与摆杆角度实现闭环稳定控制，并确保系统在面对外部干扰和模型不确定性时具备良好的鲁棒性能。

功能特性

• 线性化建模能力：基于物理参数构造质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，将复杂的非线性动力学方程转化为状态空间形式。
• 输出反馈机制：仅依赖传感器可测量的位移与角度信号（3路输出），不依赖观测器即可实现对全系统（6个状态量）的稳定控制。
• LMI凸优化求解：利用高性能LMI求解器寻找满足H无穷指标的最优控制器增益，确保闭环系统的干扰抑制性能。
• 多维度鲁棒验证：模拟了系统在非零初始状态和外部强脉冲干扰下的动态行为，验证了控制器的抗干扰能力。
• 可视化分析：提供位移响应、角度变化、控制力输出以及相轨迹分析等全方位的仿真图表。

系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 工具箱要求：需要安装 Robust Control Toolbox（鲁棒控制工具箱）以及 Control System Toolbox（控制系统工具箱）。

实现逻辑与步骤

1. 物理参数配置：定义小车质量、两级摆杆的质量、重心长度、转动惯量以及系统摩擦系数和重力加速度。
2. 状态空间构建：

* 计算质量矩阵 $M_q$、重力/刚度矩阵 $G_q$ 和阻尼矩阵 $D_q$。 * 通过矩阵求逆和合并，构造系统 $A$ 矩阵和 $B$ 矩阵。 * 设定测量阵 $C$，定义输出信号为小车位移、一级摆角和二级摆角。

1. 增广对象构造：

* 引入灵敏度权重函数 $W_1$（一阶低通滤波器形式），用于强调低频段的干扰抑制和稳态精度。 * 引入控制力权重函数 $W_2$，用于限制控制能量，防止执行器饱和。 * 通过 augw 函数将名义模型与权重函数组合，形成标准 $H_infty$ 控制框架下的增广 $P$ 矩阵。

1. 控制器合成：

* 调用 hinfsyn 函数，并显式指定使用 LMI 方法。 * 算法通过求解线性矩阵不等式组，在保证闭环系统稳定性的前提下，最小化外部输入到评价输出之间的 $L_infty$ 范数指标 $gamma$。

1. 时域仿真验证：

* 构建闭环反馈回路。 * 设置 $t=1$ 秒时的脉冲力干扰（幅度为15N）。 * 设置初始扰动状态（摆杆偏离垂直位置）。 * 利用线性系统仿真引擎计算系统的时间响应。

关键函数与算法说明

• 状态空间表达：代码采用了分块矩阵拼接的方法构造 A 矩阵。通过惯性矩阵的逆与刚度/阻尼阵相乘，准确还原了二阶微分方程组的特征。
• hinfsyn (LMI Method)：这是项目的核心算法。相比于传统的 Riccati 方程求解法，LMI 方法在处理输出反馈问题时更具灵活性，能够有效处理具有奇异性的模型，并搜索到最优的 $gamma$ 值。
• 权重函数设计 (Weighting Filters)：

* W1：设置为 $0.1/(s+0.001)$，这种积分器性质的函数能够迫使系统在低频段具有极高的增益，从而消除干扰带来的偏差。 * W2：设置为常数 $0.01$，平衡了控制精度与控制成本。

• 稳定性判定：代码通过计算闭环系统极点（Poles）来实时验证系统稳定性。若所有极点均位于复平面的左半平面，则判定为渐近稳定。
• 相轨迹分析：通过绘制角度与角速度的关系曲线，直观展示了受扰动后的系统状态是如何快速“收敛”并“吸引”回原位（原点）的，这是评估非线性系统鲁棒性的重要依据。

使用方法

1. 打开 MATLAB 软件。
2. 确保当前工作路径包含项目主程序。
3. 直接在命令行窗口输入主程序名称或点击运行。
4. 程序将依次在命令行输出系统矩阵信息、控制器增益、$gamma$ 性能指标以及稳定性验证结果。
5. 自动弹出两个仿真窗口：

* 响应曲线图：观察小车和摆杆在干扰下恢复平衡的时序过程。 * 相轨迹图：观察状态空间中运动轨迹的收敛情况。