改进型带边界约束非线性优化求解器

资 源 简 介

此MATLAB项目致力于提供一个高效、稳健的非线性最优化工具，专门用于解决自变量需要在预设范围内搜索的最优解问题。其核心功能是实现对多维目标函数在严格上下界约束下的极值寻优。该程序基于John D Errico开发的边界处理框架并进行了深度优化，有效解决了传统优化算法在处理边界碰撞及边界附近的梯度奇点时容易产生的收敛困难问题。 实现方法上，本程序采用了一套先进的坐标重映射机制，通过将带约束的物理空间变量转换为不受约束的数学空间变量，使得内部优化引擎可以利用无约束优化算法的效率，同时保证解在物理上始终处于合

详 情 说 明

基于变量空间重映射的多维带约束最优化求解器

项目介绍

本求解器是一个面向工程应用和科学计算的MATLAB优化工具，专注于解决具有严格上下界约束（Box Constraints）的非线性最优化问题。在实际物理场景中，诸如压力、浓度、尺寸等参数往往存在不可逾越的物理极限。传统优化算法在触碰边界时常因梯度不连续或搜索方向冲突导致收敛停滞。本项目通过引入John D'Errico提出的坐标变换思想，将带约束的物理空间映射为无约束的数学空间，在数学空间内完成寻优后再还原至物理空间，从而在根源上保证了求解过程的稳健性。

功能特性

1. 强力边界约束：确保优化路径在任何时刻都不会超出预设的物理区间。
2. 空间解耦变换：采用三角函数映射机制，将复杂的边界约束问题简化为高效的无约束优化问题。
3. 二阶连续性保证：变换函数经过特殊设计，具备连续的二阶导数特性，适合配合拟牛顿法（BFGS）使用，提升收敛精度。
4. 容错性高：能够处理初始点位于边界之外或极值点恰好位于边界上的极端情况。
5. 综合可视化：提供搜索轨迹在等高线图中的动态呈现以及目标函数收敛历程的对数分析。

系统要求

• 运行环境：MATLAB R2016b 及以上版本。
• 依赖组件：无需外部工具箱，核心算法基于纯数学公式实现，兼容标准MATLAB环境。

算法实现逻辑

本项目通过以下核心逻辑实现带约束优化：

1. 变量映射（Mapping）：利用正弦函数 x = lb + (ub - lb) * (sin(z) + 1) / 2 将无约束变量 z 映射到区间 [lb, ub] 内。
2. 目标函数封装：构建一个包装函数，其接收 z 作为输入，在内部将其转换为物理变量 x 后计算原目标函数值。
3. 无约束寻优：在 z 空间内运行改进的 BFGS 算法，由于 z 是不受限的，算法可以自由迭代而无需考虑越界检查。
4. 结果逆映射：求解完成后，通过 asin 函数将最优的数学变量 z 转换回最终的物理最优解 x。

核心功能模块分析

1. 核心求解引擎

程序内部实现了一套完整的拟牛顿法（BFGS）流程。它通过初始化单位矩阵作为 Hessian 矩阵的逆近似，并在每次迭代中使用秩-2更新公式。为了保证搜索过程的稳定性，算法集成了 Armijo 条件的回溯线搜索机制，自动调整迭代步长。

1. 数值梯度估计

由于目标函数可能是黑盒模型或解析导数难以获取，程序内置了基于中心差分法的梯度估算器。通过在数学空间 z 中施加极小扰动，精确计算各个维度的偏导数，为 BFGS 提供方向指引。

1. 变量空间转换机制

这是本算法的精髓。通过 map_to_physical 函数实现从数学空间到物理空间的转换。该映射不仅保证了输出值始终落在 lb 和 ub 之间，而且通过正弦波的平滑特性，弥补了边界附近的奇异性，使得梯度在边界处依然平滑可导。

1. 优化轨迹记录与可视化

求解器在迭代过程中实时记录每一步的物理坐标和函数值。展示模块会在二元搜索空间内绘制目标函数的等高线，并标注出红色虚线定义的约束边界。白色连线清晰地展示了优化器如何从初始点出发，在满足约束的前提下逐步逼近最优解（即使最优解位于边界上）。

使用说明

1. 定义参数：在主程序开头设置目标函数的匿名函数句柄，并定义变量的起始搜索点 x0、下界向量 lb 和上界向量 ub。
2. 配置参数：通过结构体设置算法的收敛精度（TolFun、TolX）以及最大迭代次数。
3. 运行求解：调用核心求解器函数，输出结果包含最优变量、最小函数值、退出状态位以及历史迭代轨迹。
4. 结果解读：程序将自动弹窗显示优化轨迹图和收敛曲线，并在命令行窗口打印执行总结报告。