基于迭代硬阈值算法的压缩感知信号重构系统

资 源 简 介

本项目实现了一种用于压缩感知（Compressed Sensing）中稀疏信号恢复的核心算法，即迭代硬阈值算法（Iterative Hard Thresholding, IHT）。该算法的主要功能是从少量的欠采样线性测量中，利用信号的预验稀疏性精确恢复原始的高维信号。其实现原理类似于梯度下降法，但在每次迭代的步长更新后增加了一个非线性的硬阈值算子投影。具体过程包括：首先通过观测矩阵的转置将观测向量映射回原空间得到初始估计，然后在每一轮迭代中，计算当前残差的梯度并根据选定的步长更新预测值，紧接着通过硬阈值算

详 情 说 明

项目介绍

本项目名为基于迭代硬阈值算法（IHT）的压缩感知信号重构系统。旨在通过迭代硬阈值（Iterative Hard Thresholding）这一经典算法，解决压缩感知理论中从少量欠采样观测值恢复高维稀疏信号的问题。该系统模拟了完整的信号采集与处理流程，验证了在观测矩阵满足受限等距性质（RIP）的情况下，如何通过非线性投影手段高效还原信号。由于其较低的计算复杂度和清晰的理论解释，该系统为信号处理、通信系统和特征提取等研究提供了实用的仿真平台。

功能特性

1. 稀疏源信号生成：自适应生成指定维度和稀疏度的离散信号，其非零分量的位置随机分布，幅值服从标准正态分布。
2. 高斯随机测量矩阵构建：模拟物理采样过程，生成均值为0、方差为1的高斯随机矩阵，并对矩阵列向量进行单位化处理，以改善算法收敛性。
3. 加性高斯白噪声模拟：在观测过程中引入指定信噪比（SNR）的噪声，使仿真环境更贴近实际物理信道。
4. 迭代硬阈值重构核心：实现梯度更新与硬阈值算子的交替运算，确保解的稀疏性。
5. 实时收敛性能监控：记录并绘制迭代过程中的残差范数变化曲线。
6. 多参数性能统计分析：自动遍历不同测量数（M），统计重构成功率，展现算法的“相变”特性。
7. 可视化评估：直观展示原始信号与重构信号的时域对比图。

使用方法

1. 启动 MATLAB 软件，将工作目录切换至本项目代码所在文件夹。
2. 打开主程序文件，点击“运行”或在命令行窗口输入主函数名。
3. 程序将首先执行一次单次重构演示，弹出包含“信号对比图”和“收敛曲线图”的绘图窗口。
4. 紧接着，程序会自动进入性能统计实验阶段，在命令行实时输出不同测量长度下的成功率数值。
5. 运行结束后，系统将弹出重构成功率随测量数变化的统计图表。
6. 用户可根据需要修改程序开头的参数区，如调整稀疏度 K、步长因子 mu 或最大迭代次数等。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB R2016a 及以上版本。
2. 工具箱需求：

* Signal Processing Toolbox（用于信号生成与基本处理）。 * Communications Toolbox（用于 awgn 函数添加噪声，若无此工具箱需手动实现加噪逻辑）。

1. 硬件环境：标准的商用 PC 即可，内存建议 4GB 以上。

核心实现逻辑

主程序结构分为三大部分，紧密遵循压缩感知的理论框架：

1. 单次演示流程 系统首先设置基础参数：信号维度 N 为 256，稀疏度 K 为 20，初始步长因子 mu 为 0.5。通过随机排列函数确定非零元素位置，并对观测矩阵进行列单位化预处理。通过矩阵乘法模拟采样过程，并加入 40dB 强度的噪声。重构后，系统计算均方误差（MSE）来量化恢复精度。

2. 核心算法求解器（IHT Solver） 求解器采用梯度下降的思想进行迭代。

• 初值设置：将重构解初始化为全零向量。
• 计算梯度：计算观测残差（y - Phi * x），并将其乘以测量矩阵的转置（Phi'），得到当前估计的更新方向。
• 梯度更新：按照设定的步长 mu 更新预测值。
• 硬阈值算子投影：本环节是算法的关键。系统对更新后的向量取绝对值并进行降序排列，仅保留前 K 个最大的分量，其余分量强制置零。这一步实现了将解投影到 L0 范数球上，保证了结果的稀疏性。
• 终止条件：当残差的范数小于预设阈值或达到最大迭代次数时，停止计算。

3. 批量性能统计 为了评估算法的鲁棒性，系统在 40 到 160 的范围内改变测量值数量 M。在每个 M 值下进行 50 次独立的随机实验。若重构得到的信号与原始信号的相对误差小于 1%，则判定为重构成功。最后通过折线图呈现成功率随观测样本增加而提升的趋势。

关键算法与实现细节分析

1. 梯度公式的应用：算法求解的目标是最小化残差的二范数平方。代码通过极简的矩阵运算实现了梯度的计算，避免了复杂的导数推导，通过 PhiT * (y - Phi * x) 快速定位信号恢复方向。
2. 步长因子 mu 的选择：在实现中，mu 被设置为 0.5。这是一个关键的超参数，理论上它需要与测量矩阵的最大奇异值相关联。固定的步长在保证收敛速度的同时，也兼顾了算法的稳定性。
3. 硬阈值函数的效率：代码利用了快速排序算法（sort 函数）来寻找最大幅值的索引，这使得在高维状态下硬阈值操作依然保持极高的执行效率。
4. 测量矩阵单位化：在生成高斯随机矩阵后，程序执行了 Phi ./ sqrt(sum(Phi.^2, 1))。这一操作确保了每列的范数为 1，有助于减少矩阵的条件数，防止在迭代更新时出现梯度爆炸或消失的问题。
5. 残差记录与可视化：通过建立 res_history 数组，程序完整保留了误差下降的历程，这对于判断算法是否收敛到局部最优解具有重要的工程参考意义。