无网格法多点高斯数值积分计算程序

资 源 简 介

本程序专门针对无网格伽辽金法（Element-Free Galerkin Method, EFG）中的数值积分环节进行设计。在无网格法中，由于系统缺乏传统的单元结构，通常需要借助于背景网格（Background Cells）来完成刚度矩阵的离散与数值积分计算。本程序实现了高度灵活的多点高斯积分功能，允许用户根据计算精度和计算效率的实际需求，在不同的计算区域内自主选择积分点的数量（如1点、4点、9点或更高阶）以及空间分布模式。 程序核心逻辑涵盖了背景积分网格的自动生成、高斯积分权重系数的精确映射以及积分点处

详 情 说 明

无网格法多点高斯数值积分计算程序

本程序是一个基于MATLAB开发的数值分析工具，专门用于实现无网格伽辽金法（EFG）中的背景网格积分与移动最小二乘（MLS）形函数计算。程序通过在计算域内布置背景格网，并在格网内生成高斯积分点，解决了无网格法中刚度矩阵离散化所需的数值积分问题。

1. 项目介绍

在无网格法中，由于缺乏传统的单元拓扑结构，积分方案的选取对计算精度至关重要。本项目通过建立背景积分网格，将复杂的域积分转化为各背景单元内的高斯积分之和。程序集成了从几何建模、积分点生成、支撑域检索到形函数构建的完整流程，为大变形分析和断裂力学等领域的研究提供了基础算法支持。

2. 功能特性

• 高度灵活的积分配置：支持1阶、2阶、3阶以及4阶二维高斯积分方案，允许用户根据精度需求调整积分点密度。
• 自动背景网格映射：能够自动将局部坐标系下的高斯点映射至全局笛卡尔坐标系，并精确计算雅可比行列式以处理权重系数。
• 动态支撑域搜索：基于欧几里得距离自动搜寻各积分点影响半径内的节点。
• 高性能形函数计算：实现了线性基函数的移动最小二乘法（MLS），可同时输出形函数值及其空间梯度。
• 直观的结果可视化：通过图形化界面展示节点分布、背景网格划分、积分点布局以及形函数在空间上的连续分布云图。

3. 系统逻辑与实现流程

程序的主控逻辑遵循以下步骤：

• 初始化与参数定义：设定正方形计算域的尺寸（1.0 x 1.0），生成均匀分布的离散节点（默认121个节点），并定义背景网格数量与支撑域影响因数。
• 高斯积分体系构建：预先获取标准区间内的权重与坐标，利用克罗内克积的思想将其扩展为二维空间的积分点阵列。
• 层级化循环计算：

1. 遍历每一个背景单元，确定其物理边界坐标。 2. 在单元内部循环生成高斯点，计算其对应的全局坐标。 3. 针对每个高斯点，遍历全局节点库，筛选出位于支撑域半径范围内的近邻节点。 4. 对每个有效高斯点，调用MLS算法计算其形函数矩阵和导数矩阵。

• 数据封装与存储：将计算得到的积分点坐标、权重、所属单元索引、形函数及其梯度存储在结构化数组或单元数组中，便于后续刚度矩阵组装过程直接调用。

4. 关键算法详解

• 高斯积分规则映射：通过特定函数获取高斯点局部坐标，利用线性变换公式将 $[-1, 1]$ 空间映射到各背景单元的实际尺寸中，计算面积缩放因子（雅可比行列式）以确保积分权重的一致性。
• 权重函数（Quartic Spline）：采用四次样条函数作为影响函数，该函数在支撑域边界处具有连续的二阶导数，保证了形函数的平滑性。其数学形式随相对距离 $r$ 变化，并在超出支撑域后自动归零。
• 移动最小二乘法（MLS）实现：

1. 构造多项式基向量（常数项与线性项）。 2. 组装力矩矩阵 $A$ 和矩阵 $B$。 3. 求解形函数值 $Phi$。 4. 利用链式法则计算包含矩阵 $A$ 逆矩阵偏导数在内的形函数导数，确保导数计算的严格性和精确度。

5. 使用方法

1. 启动MATLAB环境。
2. 配置计算环境参数：在主程序起始位置修改计算域尺寸 $L, W$、节点密度 $nx, ny$、背景网格数 $ncx, ncy$ 及高斯阶数。
3. 运行计算程序：执行脚本后，程序将自动完成所有数值计算。
4. 结果查看：程序会弹出两个窗口，第一个展示背景网格、离散节点与高斯积分点的空间叠加拓扑关系；第二个展示选定节点对应的形函数在整个计算域积分点上的数值分布云图。

6. 系统要求

• 软件环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 硬件要求：标准桌面或笔记本电脑即可稳定运行。
• 依赖说明：本程序为纯脚本实现，无需安装额外的工具箱，具备极佳的移植性。