基于LDA与PCA的数据降维与分类系统

资 源 简 介

本系统是一个集成式的MATLAB工具包，主要用于高维数据的特征提取、降维处理以及分类识别。 系统的PCA模块实现了无监督的数据降维，通过计算采样数据的协方差矩阵并执行特征值分解，将数据从原始高维空间投影到特征值最大的主成分向量方向，从而在最大限度保留原始信息差异的前提下去除冗余特征和噪声。 系统的LDA模块实现了监督学习下的线性判别分析，其核心逻辑是通过计算类内散度矩阵和类间散度矩阵，寻找一个最优投影方向，使得在降维后的空间中，同类样本尽可能靠近，而不同类样本尽可能远离。 利用LDA投影后的低维特征，系统

详 情 说 明

基于线性判别分析（LDA）与主成分分析（PCA）的数据降维与分类系统

项目介绍

本系统是一个集成式的MATLAB计算框架，专门用于处理高维数据的降维、特征提取以及模式识别任务。系统结合了无监督学习（PCA）与监督学习（LDA）的优势，通过线性变换技术，将原始高维空间中的复杂数据映射到低维特征空间。这种处理方式不仅能有效消除特征间的冗余和噪声，还能在降维过程中增强类别的可分性。

该系统被设计为一套完整的工程闭环，涵盖了从原始数据模拟、标准化预处理、特征降维到最终分类预测与可视化评估的全过程。它特别适用于解决高维小样本（Small Sample Size）问题，通过在执行LDA之前引入PCA预处理，增强了算法在面对复杂矩阵运算时的数值稳定性。

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功能特性

• 自适应模拟数据生成：系统内置高维数据生成器，能够模拟具有不同中心偏移的多类别聚类特征，模拟真实世界如人脸、手写数字或传感器数据分布。
• 联合降维架构：实现了“PCA+LDA”的集成方案。PCA用于初步去噪和缓解散度矩阵的奇异性，LDA用于提取具有判别性的监督特征。
• 鲁棒标准化处理：集成动态Z-score标准化功能，确保不同量纲的特征在算法计算中具有相同的权重。
• 判别性特征提取：LDA算法通过优化类间与类内散度比例，显著提升了低维空间下样本的类别聚集度。
• 自动化分类评估：内置基于质心距离的线性分类器，可自动评估降维后的特征在未知测试集上的识别准确率。
• 多维度结果可视化：提供包括PCA主成分贡献率分布、PCA投影空间分布以及LDA判别空间分布在内的全方位图形展示。

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系统逻辑与实现详述

本系统的核心代码流程严格遵循以下逻辑步骤：

1. 数据模拟与划分 系统首先生成包含3个类别、每个类别50个样本、共计40个初始维度的模拟数据集。为模拟真实分类任务，数据被随机划分为80%的训练集（用于构建投影矩阵和训练分类器）与20%的测试集（用于验证系统泛化能力）。

2. 标准化预处理 系统通过计算训练集的均值和方差，对全量数据执行Z-score变换。在测试集处理过程中，系统严格遵守机器学习规范，使用训练集的统计参数进行缩放，以避免信息泄露。此外，系统针对零方差特征进行了容错处理。

3. 无监督特征提取（PCA） 在PCA模块中，系统通过构建训练数据的协方差矩阵并执行特征值分解（EVD），提取方差贡献最大的主成分向量。该模块将原始维度压缩至指定的主轴方向，保留了数据中主要的全局信息。

4. 监督特征映射（LDA） 在PCA降维的基础上，系统执行监督学习下的LDA算法。逻辑如下：

• 计算全局均值以及各个类别的类内均值。
• 构造类内散度矩阵（Within-class scatter matrix）与类间散度矩阵（Between-class scatter matrix）。
• 为了解决矩阵奇异性导致的历史性计算难题，系统在类内散度矩阵中加入了正则化惩罚项（1e-6）。
• 通过求解广义特征值问题，获得能够使Fisher判别准则函数最大化的最优投影向量。

5. 线性分类与预测 利用LDA投影后的低维特征，系统构建了“最近质心分类器”。系统先计算训练集中各类别在特征空间中的几何中心，随后通过计算测试样本到各中心点的欧氏距离，将其归入距离最近的类别。

6. 评估与可视化 系统计算预测标签与真实标签的匹配度，输出分类准确率曲线。同时，通过三子图布局直观展示特征选择的科学性，反映类间距离拉伸与类内距离紧缩的实际效果。

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关键函数与算法细节分析

• 数值稳定性处理：在LDA实现中，通过在散度矩阵对角线上叠加微量扰动修正，确保了矩阵求逆过程的稳定性，有效防止了在高维小样本情况下的算法崩溃。
• 主成分贡献分析：系统不仅执行降维，还计算并展示了主成分的单个贡献率与累计贡献率，帮助用户科学判断保留维度的合理性。
• 投影矩阵构建：PCA模块利用排序后的特征向量构建转换矩阵；LDA模块则根据类别数减一（C-1）的理论上限自动优化特征方向的选择。
• 多模态分布展示：可视化模块利用散点图展示了PCA（侧重于全局方差）与LDA（侧重于类别区分）在相同数据上的不同投影效果。

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使用方法

1. 启动MATLAB环境。
2. 将系统脚本放置于当前工作目录。
3. 运行主函数。
4. 系统将依次在命令行窗口打印特征维度变化信息及测试集准确率。
5. 系统将自动弹出可视化窗口，展示降维前后的数据空间分布对比。

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系统要求

• 运行环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
• 依赖工具箱：通用统计与机器学习功能，无需第三方库。
• 硬件说明：支持常规桌面计算环境，系统资源占用极低。