基于马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）的数值采样与分析系统

资 源 简 介

该项目提供了一个完整的MCMC数值模拟框架，旨在利用MATLAB强大的矩阵运算能力解决复杂高维概率空间的采样问题。其核心功能是实现从一个难以进行直接采样的目标分布中获取具有代表性的随机样本，从而进行数值积分、期望估计或贝叶斯参数后验推断。 该系统集成了多种经典的采样策略，包括Metropolis-Hastings（MH）采样器和吉布斯采样（Gibbs Sampling）。用户可以定义自定义的目标概率密度函数，程序会自动建立满足平衡方程的马尔科夫链。功能模块包含：初始化搜索算法用于确定合理的起始点；动态接受

详 情 说 明

马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）模拟系统

项目介绍

本项目是一个基于MATLAB开发的马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）数值模拟框架。该系统主要用于解决复杂高维概率空间中的采样问题，当目标分布的概率密度函数过于复杂而无法进行直接采样时，本工具能够生成具有代表性的随机样本。这些样本可进一步用于数值积分、参数的后验概率推断以及物理、金融等领域的随机分析。

功能特性

• 多链并行架构：支持同时启动多个独立的马尔科夫链，并从不同的起始点出发，以便全面探索状态空间并验证收敛性。
• 自适应动力学调整：在预热阶段内置了动态接受率调整机制，根据实时反馈自动微调建议分布的步长，以逼近高维空间的最优接受率。
• 严谨的后处理机制：集成了自动预热期（Burn-in）截断和样本变薄（Thinning）功能，有效消除初始非稳态样本的干扰并降低样本间的自相关性。
• 科学的收敛性诊断：内置Gelman-Rubin（R-hat）统计量计算功能，通过对比链间方差与链内方差，为采样是否达到平稳分布提供量化依据。
• 全方位可视化套件：提供轨迹图、边缘分布图、自相关函数图及二维联合分布云图，直观展现采样过程和后验分布形态。

系统要求

• 环境：MATLAB R2018b 或更高版本。
• 工具箱：建议安装 Statistics and Machine Learning Toolbox（用于调用核密度估计与分位数计算函数）。

实现逻辑说明

系统的核心执行逻辑如下：

1. 参数初始化：设定目标空间的维度、链的数量、总迭代次数以及数据处理参数（如预热比例和变薄因子）。
2. 目标函数定义：以对数概率密度（Log-PDF）的形式定义目标分布。代码中内置了一个典型的双峰高斯混合分布作为示例，体现了系统处理非凸、多峰分布的能力。
3. Metropolis-Hastings 循环：

* 建议样本生成：基于当前状态，利用对称的随机游走（正态分布）生成建议跳转点。 * 接受/拒绝逻辑：在对数空间内计算接受概率 $alpha$，通过对比随机数与接受阈值决定是否跳转，有效防止了计算过程中的数值溢出风险。 * 步长反馈：在预热期内，每隔 100 步根据当前接受率与目标接受率（23.4%）的比例动态调整建议分布的步长。

1. 数据清洗：剔除前 20% 的不稳定样本，并根据变薄因子对剩余序列进行等间隔抽样。
2. 统计诊断与推断：计算各维度的 R-hat 值，并提取均值、中位数及 95% 置信区间等关键后验统计量。

关键算法与函数分析

• Metropolis-Hastings 采样器：这是系统的心脏。它通过构建满足细致平衡方程的马尔科夫链，确保平稳分布指向目标分布。代码实现了基于对数概率的接受概率计算，增强了算法在极小概率区域的鲁棒性。
• Gelman-Rubin (R-hat) 诊断算法：该算法用于评估多条链是否已融合至同一分布。当 R-hat 值接近 1.0 时，说明采样过程已收敛且样本具有科学有效性。
• 自相关函数 (ACF) 计算：通过计算不同滞后步长下的样本相关系数，评估马尔科夫链的独立性，辅助确定最优的变薄因子。
• 核密度估计 (KDE)：在可视化模块中，利用非参数化方法从样本点拟合概率密度曲线，相比直方图能更平滑地展现后验分布形态。
• 多元正态模拟 (mvnpdf)：程序内置了多元正态分布概率密度的手工实现，确保了在缺少相关工具箱的环境下仍能准确计算目标分布的权重。
• 二维联合密度云图：结合了散点分布与等高线追踪技术，用于揭示参数间的相关性和多峰分布的拓扑结构。