基于有限体积法的传热数值模拟系统

资 源 简 介

本系统是一个基于有限体积法（Finite Volume Method, FVM）原理开发的MATLAB数值仿真平台，主要用于求解稳态及瞬态的热传导方程。程序通过将物理区域划分为一系列离散的控制容积，并在每个控制体上对能量守恒方程进行积分，从而将偏微分方程转化为线性代数方程组，确保在离散层面上严格满足能量守恒特性。该程序具备处理一维、二维几何模型的能力，支持多种边界条件的组合应用，如恒温边界（第一类）、给定热流密度边界（第二类）以及表面对流换热边界（第三类）。 在具体的算法实现层面，系统集成了非均匀网格划分

详 情 说 明

基于有限体积法的二维瞬态传热数值模拟系统

项目介绍

本系统是一个基于有限体积法（Finite Volume Method, FVM）设计的数值仿真工具，专门用于模拟二维矩形区域内的瞬态热传导过程。系统通过将连续的物理空间离散化为一系列相互连接的控制容积，并在每个容积上平衡能量流入、流出以及内能变化，从而将复杂的偏微分热传导方程转化为代数方程组。该程序适用于分析材料在特定边界条件下的温度场动态演变，能够提供精确的温度空间分布图、热流矢量场以及特定监测点随时间的变化曲线。

功能特性

1. 物理建模能力：支持二维矩形域的非稳态传热计算，考虑了材料的导热系数、密度和比热容。
2. 混合边界条件：系统预设了多类边界组合，包括左侧恒定热流（第二类）、右侧对流换热（第三类）、底部恒定温度（第一类）以及顶部绝热边界。
3. 高效数值算法：采用交替方向隐式格式（ADI）配合托马斯算法（TDMA），在保证计算稳定性的同时，显著提升了求解大型稀疏矩阵的速度。
4. 全隐式时间离散：针对时间项采用向后差分离散，消除了显式格式对时间步长的严格稳定性限制。
5. 综合可视化输出：自动生成温度场等值线图、热流密度矢量图、中心点温度演变曲线以及求解过程中的能量残差收敛曲线。

使用方法

1. 环境配置：确保计算机已安装 MATLAB 环境。
2. 参数修改：在程序开头的“参数设置”部分，用户可以根据需要调整几何尺寸（Lx, Ly）、网格数（Nx, Ny）、材料热物性参数（k, rho, cp）以及仿真时长（t_end, dt）。
3. 运行仿真：直接在 MATLAB 中运行脚本。
4. 结果查看：程序运行完成后会自动弹出绘图窗口，显示四个维度的仿真分析结果。命令行窗口会实时显示计算进度和当前残差值。

系统要求

1. 软件版本：MATLAB R2016b 或更高版本。
2. 硬件建议：标准的桌面电脑即可胜任，若增加网格数量（如超过 200x200），建议配置 8GB 以上内存。

核心实现逻辑

程序通过以下阶段完成数值仿真：

1. 参数与网格定义：初始化几何参数和材料属性。通过 linspace 函数生成面坐标，并计算出控制体中心坐标（nodes）及控制体尺寸（dx, dy）。
2. 初始化变量：设定初温场，并为存储历史记录和残差分配内存。
3. ADI 循环求解：这是程序的核心。主循环内每个时间步包含两个步骤：

- 第一步（X方向隐式）：固定 Y 方向的项作为已知源项，在 X 方向上应用隐式离散，构建三对角矩阵并通过 TDMA 求解，得到中间温度场。 - 第二步（Y方向隐式）：利用中间温度场，固定 X 方向项，在 Y 方向上应用隐式离散并求解，得到最终平面的新时刻温度。

1. 边界处理细节：在构建矩阵时，实时根据边界类型修正系数。例如，第一类边界通过增加源项和调整主对角线系数实现；第二类边界直接计入源项；第三类边界（对流）则通过等效热阻计算交界面温度并转化为源项。
2. 后处理：利用 gradient 函数根据最终温度场计算各点的空间梯度，结合 Fourier 导热定律生成热流密度数据。

关键算法与算法细节

1. 交替方向隐式格式（ADI）：

由于二维隐式求解会导致系数矩阵带宽过大，ADI 算法将一个时间步平分为两个半步。第一个半步通过隐式处理 X 方向扩散项并显式处理 Y 方向项，第二个半步反之。这种方法保持了全隐式的无条件稳定性，同时使得每一步只需处理简单的三对角矩阵。

1. 托马斯算法（TDMA）：

程序内部实现了专用的三对角矩阵算法（Thomas Algorithm）。它通过前向消元和后向代换两个阶段，以 O(n) 的时间复杂度求解线性方程组，相比直接矩阵求逆极大地降低了内存消耗和计算时间。

1. 能量守恒离散：

在非均匀（或均匀）网格上，系数计算采用中心差分格式。对于控制体交界面上的导热能力，程序通过调和平均思想处理（在本代码中因热导率恒定简化为算术平均），确保热流在通过相邻控制体交界面时的连续性。

1. 边界条件数值实现：

• 第一类（恒温）：在控制体平衡方程中，将与边界接触的传热项系数移至等号右侧，并根据半个控制体间距调整热阻。
• 第二类（热流）：将热流密度直接乘以边界接触面积，作为源项加入方程。
• 第三类（对流）：通过热路串联模型（传导阻力 + 对流阻力）计算边界热交换，确保交界面处的能量平衡满足 Newton 冷却定律。