基于TV全变分与调和映射的图像修复系统

资 源 简 介

本项目旨在利用全变分(Total Variation)模型与调和映射(Harmonic Inpainting)两种经典的偏微分方程(PDE)方法实现受损图像的数字化修复。该系统的核心功能是针对图像中缺失或损坏的像素区域，通过数学建模实现信息从已知区域向未知区域的合理扩散。

详 情 说 明

基于全变分(TV)与调和映射理论的图像修复系统

项目介绍

本项目是一款基于偏微分方程（PDE）理论的MATLAB图像修复系统。它集成了两种经典的数学模型：调和映射（Harmonic Inpainting）与全变分（Total Variation, TV）模型。系统通过数学建模，将图像受损区域的信息恢复视为一个扩散与演化的过程，旨在实现缺失像素的自然填充，使修复后的图像在视觉上保持连贯性。

功能特性

1. 双算法并行修复：同步实现调和映射与全变分两种修复方案，便于对比不同数学模型对纹理和边缘的恢复效果。
2. 多类型损伤模拟：

- 随机划痕生成：利用几何路径算法生成多条具有随机位置、长度和宽度的模拟划痕。 - 文字水印遮挡：通过图形渲染技术在图像上覆盖特定文字（如“ANTIGRAVITY”）作为复杂损伤掩膜。

1. 收敛过程监控：系统实时计算并在最后绘制两种算法的能量泛函演化曲线，展示修复过程的数学收敛性。
2. 局部细节对比：自动截取修复区域的局部放大图，直观展示算法对边缘保持和噪声平滑的处理能力。

实现逻辑与算法细节

该程序通过一套完整的数学流程实现自动化修复：

1. 预处理与掩膜构造

• 图像加载：读取内置灰度图像并进行归一化处理（映射至 [0, 1] 区间）。
• 掩膜（Mask）生成：

- 采用随机生成的直线坐标，配合剖面算法和形态学扩张逻辑构造不规则划痕。 - 建立隐形图形对象绘制指定文本，并将其通过重采样和阈值化处理转化为二值掩膜。

• 损伤注入：在掩膜覆盖区域注入随机噪声，模拟受损的初始状态。

2. 调和映射修复算法 (Harmonic Inpainting)

• 核心原理：在受损区域内求解拉普拉斯方程 $Delta I = 0$。
• 迭代方式：利用有限差分法，通过当前像素四周邻域（上下左右）的均值来更新受损点的像素值。其本质是一种线性各向同性扩散，能够平滑地填充空隙。
• 能量泛函：在迭代过程中计算狄利克雷积分（Dirichlet energy），反映图像的光滑程度。

3. 全变分修复算法 (Total Variation)

• 核心原理：基于 Euler-Lagrange 方程，通过最小化全变分能量泛函（$L1$ 范数梯度）实现修复。
• 迭代方式：计算单位法向量的散度 $text{div}(nabla I / |nabla I|)$ 作为演化驱动项。相比调和映射，该方法通过非线性扩散机制，在保持边缘锐度方面表现更优。
• 数值稳定：引入微小量 $epsilon$ 处理分母，防止在梯度为零的平坦区域出现数值震荡。

4. 数据可视化分析

• 多维展示：主界面同时展示原始图、受损图、掩膜图以及两种算法的最终修复图。
• 归一化能量曲线：对比调和映射的 $L2$ 能量曲线与 TV 模型的 $L1$ 能量曲线，验证程序是否达到稳态。
• 局部细节切片：固定选取 80x80 像素的密集修复区进行三级对比展示。

系统要求

• 软件环境：MATLAB 2016b 或更高版本。
• 工具箱要求：

- Image Processing Toolbox（用于图像读取、剖面图生成、调整大小等操作）。

• 硬件配置：主流配置即可，修复 256x256 图像的迭代过程通常在数秒内完成。

使用方法

1. 启动 MATLAB 软件。
2. 将该程序及相关资源置于 MATLAB 当前工作目录。
3. 直接运行主程序函数。
4. 程序将自动进行图像降质、两种算法并行修复，并依次弹出修复流程全图及局部细节对比图。
5. 修复参数（如迭代次数 iter_max、步长 dt）可在代码的“参数设置”部分自行调整以适应不同图像。