插值分析与Euler解常微分方程应用实例

资 源 简 介

本项目是一个基于MATLAB环境开发的数值分析综合应用案例，旨在通过编程实践解决数学建模中的曲线拟合与动态系统仿真问题。

详 情 说 明

插值分析与Euler解常微分方程应用实例

项目简介 本项目是一个基于MATLAB环境开发的数值分析计算案例。该工具集成了数值分析中两个核心领域的功能：曲线插值与常微分方程（ODE）的数值求解。通过对比多种经典算法的实现效果，展示了数学建模中数据拟合与动态系统仿真的标准流程，并提供了完整的误差分析与可视化输出。

功能特性

1. 实现多种插值算法，包括拉格朗日插值、牛顿插值及分段线性插值，用于处理离散观测数据的平滑拟合。
2. 实现初值问题的常微分方程数值求解，包含基础的前向欧拉法与具备更高精度预测-校正机制的改进欧拉法。
3. 自动计算解析解并进行误差对比，通过控制台输出详细的数值点、真实值及绝对误差表。
4. 提供双子图同步可视化界面，直观展示插值曲线的振荡情况及不同ODE数值解的收敛精度。

系统要求

1. 环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
2. 工具箱：基础MATLAB功能即可，无需额外工具箱。

使用方法

1. 在MATLAB中定位至项目根目录。
2. 在命令行窗口直接调用主函数。
3. 程序将依次执行插值计算、微分方程迭代、误差分析，并最终弹出包含两个子图的结果窗口。

核心功能与实现逻辑

一、 插值算法模块 程序通过给定的一组观测点（近似正弦函数分布）进行密集采样计算，实现逻辑如下：

1. 拉格朗日插值：利用基函数构造法，通过嵌套循环计算每个采样点对应的基函数乘积，最后进行加权求和，实现对原始观测点的非线性穿针。
2. 牛顿插值：采用均差表（Divided Difference Table）法，首先构建差分商矩阵，提取对角线系数生成差分多项式，再利用多项式展开逻辑计算目标点值。
3. 线性插值：直接调用内置算法，在相邻观测点间进行线性拟合，作为高次多项式插值的参照基准。

二、 常微分方程求解模块 针对特定的微分方程 dy/dt = y - t^2 + 1 及其初值条件 y(0)=0.5 进行仿真：

1. 前向欧拉法（Explicit Euler）：基于一阶泰勒展开，利用当前点的斜率直接推导下一点的状态，体现了显式数值积分的基本逻辑。
2. 改进欧拉法（Improved Euler）：采用预测-校正模式。先通过前向欧拉法预测一个中间状态，再结合起始点与预测点的平均斜率进行修正，有效提升了计算的稳定性与精度。
3. 解析解验证：程序内置了方程的理论解析解函数，用于在时间序列上与数值解进行逐点对比。

算法细节分析

1. 均差系数处理：在牛顿插值实现中，程序会提取并显示均差表的对角线元素，这些系数反映了插值多项式的构造特征。
2. 步长控制：ODE求解过程中设定了固定步长 h=0.2。通过对比解析解可以看出，改进欧拉法由于引入了斜率修正，在相同步长下比前向欧拉法更接近真实曲线。
3. 误差度量：程序不仅计算数值点，还通过 abs(数值解 - 解析解) 的逻辑定量分析每一时刻的绝对误差，并将结果格式化输出于控制台。
4. 结果可视化细节：

• 顶部子图对比了拉格朗日、牛顿及分段线性三者在处理非均匀采样点时的拟合差异。
• 底部子图展示了在 0 到 2 的时间域内，数值解随时间推移累计产生的截断误差演变过程。