MATLAB实现的SSOR预处理共轭梯度法线性方程组求解系统

资 源 简 介

本项目基于MATLAB实现了采用SSOR预处理的共轭梯度法（PCG），专门用于高效求解大型稀疏对称正定线性方程组。通过ω参数优化预处理效果，支持迭代次数和误差容限双重停止条件，在保证数值稳定性的同时显著提升收敛速度。

详 情 说 明

基于SSOR预处理的共轭梯度法线性方程组求解系统

项目介绍

本项目实现了一个采用SSOR（对称超松弛）预处理的共轭梯度法（PCG）算法，专门用于高效求解大型稀疏对称正定线性方程组Ax=b。通过引入ω参数调节预处理效果，结合迭代次数和误差容限双重停止条件，在保证数值稳定性的同时显著提升收敛速度。系统可实时计算并返回近似解及平均绝对误差，适用于科学计算和工程仿真中的大规模数值求解问题。

功能特性

• 高效预处理技术：采用SSOR预处理方法，通过ω参数（0<ω<2）优化预处理矩阵，有效改善系数矩阵的条件数
• 快速收敛算法：基于共轭梯度法，确保在有限迭代步数内获得高精度解
• 双重停止条件：同时支持最大迭代次数和误差容限阈值控制，兼顾计算效率与精度要求
• 实时误差监控：每次迭代实时计算并输出平均绝对误差，便于监控收敛过程
• 矩阵格式兼容：支持稠密矩阵和稀疏矩阵存储格式，适应不同规模的问题需求

使用方法

输入参数说明

• A：n×n维对称正定矩阵（支持稠密或稀疏存储格式）
• b：n×1维右侧向量
• omega：SSOR松弛因子，标量，取值范围0<ω<2
• Times：最大迭代次数，正整数
• errtol：误差容限阈值，正标量（如1e-6）

输出结果

• NewX：n×1维近似解向量，满足‖A*NewX-b‖₂的最小化
• avgerr：当前迭代步的平均绝对误差值，计算公式为mean(abs(A*NewX-b))

调用示例

% 示例：求解线性方程组Ax=b A = gallery('poisson', 10); % 生成对称正定矩阵 b = ones(size(A,1), 1); % 生成右侧向量 omega = 1.5; % 设置松弛因子 max_iter = 1000; % 最大迭代次数 tolerance = 1e-6; % 误差容限

[x_solution, avg_error] = main(A, b, omega, max_iter, tolerance);

系统要求

• MATLAB R2016a或更高版本
• 支持线性代数运算的基本MATLAB环境
• 建议内存容量：至少4GB（处理大型稀疏矩阵时建议8GB以上）

文件说明

主程序文件整合了完整的SSOR预处理共轭梯度法求解流程，具体实现了矩阵对称正定性验证、SSOR预处理矩阵构造、共轭梯度迭代计算、收敛性判断以及误差监测等核心功能。该文件负责协调算法各模块的执行顺序，处理输入参数的校验与初始化，控制迭代过程的终止条件，并最终输出满足精度要求的解向量和误差统计信息。