线性系统状态约束滤波器设计系统

资 源 简 介

本项目旨在解决线性系统在运行过程中受到物理边界、安全性需求或性能限制等状态约束时的状态估计问题。传统的卡尔曼滤波器在处理此类问题时，往往会产生超出约束范围的估计值，从而导致物理意义上的失效或后续控制器的误判。本系统通过集成高级优化算法与概率预测理论，在经典的线性最小方差估计框架中引入硬约束处理机制。具体实现方法包括基于投影的卡尔曼滤波算法，通过求解二次规划问题将预测值强制映射回可行域；或者采用移动水平估计方法，在滑动时间窗口内通过求解带有线性约束的代价函数来实现最优状态维护。该系统支持用户自定义状态变量的

详 情 说 明

线性系统约束滤波器设计系统

本系统致力于解决线性系统在存在物理边界、安全限制或性能约束环境下的状态估计问题。在实际应用（如航天器对接、化工过程控制、自动驾驶安全边界判定）中，传统卡尔曼滤波器（KF）生成的估计值可能会超出物理可行域。本系统通过集成基于投影算法的约束卡尔曼滤波（CKF），确保估计结果在满足统计最优性的同时，严格遵守预设的硬约束。

功能特性

1. 多算法对比仿真：系统同步运行标准卡尔曼滤波与约束卡尔曼滤波，直观展示约束机制对估计精度和可行性的影响。
2. 硬约束处理机制：采用状态投影法，通过求解二次规划（QP）问题，将越界的估计值强制映射回可行域。
3. 动态性能监控：实时计算并展示估计轨迹、误差平方序列、协方差矩阵之迹以及观测残差分布。
4. 自动化报告生成：仿真结束后，系统自动生成包含均方根误差（RMSE）、约束违规次数及精度提升比例的量化分析报告。
5. 高度可扩展性：支持自定义状态转移矩阵、观测矩阵、噪声协方差以及任意形式的线性等式或不等式约束。

系统要求

1. 环境支持：MATLAB R2016b 或更高版本。
2. 工具箱依赖：需要安装 Optimization Toolbox（用于调用二次规划求解器 quadprog）。

算法实现逻辑

系统的核心运行流程分为以下四个阶段：

1. 系统建模与初始化

系统模拟一个具有恒定加速度输入的一维运动目标。状态向量包含位置和速度两个维度。采样时间设为 0.1 秒，预设了过程噪声和测量噪声的协方差。

• 状态约束：设定位置状态必须处于 [1.0, 5.0] 范围内。此约束被转化为矩阵形式的线性不等式 Gx <= h。

2. 环境模拟与真实轨迹生成

在每个时间步中，系统根据状态转移方程生成真实状态。为了模拟真实的物理边界，当状态演化超出定义的约束范围时，真实值将被强制截断在边界上。随后，系统根据观测矩阵生成带有高斯白噪声的测量数据。

3. 滤波器并行处理

• 标准卡尔曼滤波：严格遵循“预测-更新”两步法。在更新步获得估计值。该估计值完全依赖于模型和观测，不感知物理边界限制，容易产生违规值。
• 约束卡尔曼滤波：

* 基础更新：首先执行与标准 KF 相同的步骤，获得无约束的解。 * 最优投影：将无约束估计值作为初始点，利用二次规划算法求解最接近无约束解且满足约束条件的投影点。 * 代价函数：最小化估计值与无约束解之间的加权距离，权系数矩阵采用误差协方差矩阵的逆。这种方法保证了在修正状态的同时，尽可能保留滤波器的统计特性。

4. 数据分析与可视化

系统通过四组子图全面评估性能：

• 路径图：对比真实轨迹、KF 轨迹与 CKF 轨迹，并标注约束边界线。
• 误差图：展示随时间变化的误差平方序列，反映估计的实时准确度。
• 稳定性分析：通过协方差矩阵之迹的演化趋势，判断滤波器的收敛性。
• 残差分析：利用直方图对比两种算法的观测残差分布，验证其统计一致性。

关键技术细节

1. 二次规划投影算法：利用 quadprog 函数求解凸优化问题。其目标函数被转化为标准的二次项形式 0.5 * x' * H * x + f' * x，其中 H 矩阵由误差协方差矩阵的逆构成。
2. 协方差处理：代码在计算加权矩阵 W 时，为协方差矩阵加入了微小量（1e-9）以保证其正定性，确保数值求解过程的稳定性。
3. 边界处理机制：系统通过逻辑检查判断优化器的 exitflag，若求解成功则应用投影后的状态，若失败则保留原始估计值，保证了系统的鲁棒性。
4. 性能度量：通过 RMSE（均方根误差）量化评估精度，并统计超出 [1.0, 5.0] 范围的样本点数量，以此作为约束有效性的直接指标。