广义Mittag-Leffler函数矩阵化计算工具

资 源 简 介

此项目实现了由Igor Podlubny和Martin Kacenak编写的更新版广义Mittag-Leffler函数（ml.m），旨在为科学计算提供高精度的数值评价工具。该函数作为指数函数的推广，是分数阶微积分理论中的核心特殊函数。该项目的主要功能是计算具有一个、两个或三个参数的广义Mittag-Leffler函数值，其最大的技术改进在于全面支持矩阵输入，能够对输入的向量或矩阵进行逐元素（element-wise）的高效运算。实现过程中，源码采用了复杂的数值算法，根据参数alpha、beta以及自变量z

详 情 说 明

广义 Mittag-Leffler 函数计算工具

项目介绍

本项目实现了一个更新的高精度广义 Mittag-Leffler 函数计算工具。该函数作为指数函数的推广，是分数阶微积分理论中的核心特殊函数。该工具能够计算具有一个参数 $E_{alpha}(z)$、两个参数 $E_{alpha, beta}(z)$ 以及三个参数 $E_{alpha, beta}^{gamma}(z)$ 的函数值，能够处理标量、向量及矩阵等多种形式的输入，是科学计算、分数阶微分方程解析、反常扩散模拟以及非线性粘弹性力学建模等领域的有力补充。

功能特性

1. 多参数支持：全面兼容单参数、双参数和三参数（Prabhakar 型）Mittag-Leffler 函数。
2. 矩阵化运算：支持对输入数组进行逐元素（Element-wise）运算，适应大规模数据集的处理需求。
3. 自动策略切换：根据参数范围和自变量的模值，智能选择级数求和、渐近展开或数值积分算法，以平衡计算速度与精度。
4. 复平面全覆盖：通过数值积分路径优化，解决了复平面不同区域内的收敛性问题。
5. 稳健的数值处理：利用对数空间计算 Gamma 函数，有效避免了在大规模计算或极端参数下的数值溢出。

系统要求

1. 运行环境：MATLAB R2016b 或更高版本。
2. 核心依赖：无需外部工具箱，仅依赖 MATLAB 内置数学函数。

功能实现逻辑说明

程序的执行流程以输入处理为起始，逐步深入到复杂的数值评价算法：

1. 输入预处理逻辑

程序首先检查输入参数的数量。若未提供第二或第三参数，系统将自动将其补齐为默认值 1。对于输入的自变量矩阵，程序通过预分配内存空间，并利用循环对每一个元素调用核心评价算法，确保输出结果与输入自变量具有相同的维度结构。

1. 核心评价策略（选择逻辑）

针对每一个复数点，算法会根据以下规则选择计算路径：

• 微小量处理：当自变量的绝对值极小时（小于 $10^{-12}$），直接返回基于 Gamma 函数定义的解析值。
• 级数求和路径：在 $|z|$ 较小（通常小于 1.5）或在 $alpha$ 较大且 $|z|$ 适中的区域内，采用幂级数展开进行求和计算。
• 渐近展开路径：当 $|z|$ 较大且位于特定的扇形区域（由参数 $alpha$ 决定的收敛域）时，采用渐近展开的领先项进行快速估算。
• 数值积分路径：对于上述情况之外的其他区域，采用沿 Hankel 路径的数值积分法，确保结果的准确性。

关键算法与实现细节

1. 幂级数求和算法

该算法计算 $(g)_n cdot z^n / (n! cdot Gamma(an+b))$ 的无限和。为提高数值稳定性，程序引入了 Pochhammer 符号的对数化处理，在对数空间内计算 Gamma 项和幂次项，最后通过指数映射还原。这种方法有效地抑制了算式中阶乘项带来的溢出风险。计算会在项的增量小于 $10^{-12}$ 倍总和时自动停止。

1. 渐近展开算法

针对大模值自变量，利用渐近特性进行近似。目前的实现捕捉了函数在无穷远处的领先项贡献，即 $(1/a) cdot z^{(g-b)/a} cdot exp(z^{1/a}) / Gamma(g)$，这在处理 $alpha < 2$ 的高模值场景中具有极高的效率。

1. 数值积分算法（优化 Hankel 路径）

为了处理复平面上的非收敛区域，程序构造了一条避开奇异点的积分路径。该路径由三部分组成：

• 圆周路径：在复平面内以一定半径绕过原点。
• 射线路径：从圆周两端沿特定角度延伸至无穷远（实际计算中取有限大值）。

通过在路径上进行离散化求和，并除以 $2pi i$，获得函数在积分表述下的精确值。

1. 辅助数学函数

程序内部封装了对数 Gamma 函数（gammaln），确保在参数 $alpha$ 或 $beta$ 较大时，中间变量的计算不会导致精度丢失或程序崩溃。

使用演示功能

程序内置了自动化测试用例，运行后将执行以下操作：

1. 标量验证：计算 $alpha=1, beta=1$ 时的函数值，并将其与标准指数函数 $exp(z)$ 进行对比，验证算法的准确性。
2. 向量可视化：生成 $alpha=0.5, beta=1.0$ 的函数随自变量变化的曲线图。
3. 复平面分布图：生成复数矩阵输入下的模值分布三维曲面图，直观展示函数在复平面上的解析特性和幅值演变。