基于EM算法的高斯混合模型聚类与参数估计工具箱

资 源 简 介

本系统是一个基于Matlab环境深度开发的期望最大化（Expectation-Maximization, EM）算法实现框架，核心致力于解决在高斯混合模型（GMM）下的参数寻优与隐变量估计问题。EM算法通过交替执行“期望”步骤（E-step）和“极大化”步骤（M-step），在数据存在隐变量或缺失值的情况下，通过迭代计算样本的后验概率并据此更新模型参数，使得对数似然函数达到局部最优解。

详 情 说 明

高斯混合模型 (GMM) 的 EM 算法聚类与参数估计系统

项目介绍

本系统是一个基于 Matlab 环境开发的期望最大化（Expectation-Maximization, EM）算法工程框架。该系统专门用于解决高斯混合模型（GMM）下的参数寻优与隐变量估计问题。在数据分布未知且存在隐变量的背景下，系统通过迭代执行期望步骤（E-step）和极大化步骤（M-step），能够精确地从观测数据中估计出各成分的均值、协方差及混合权重，实现高质量的自动化数据聚类。

功能特性

1. 合成数据仿真引擎：内置可配置的多维高斯数据生成模块。系统能够模拟产生具有特定均值、协方差矩阵和权重分布的多簇数据，为算法验证提供标准基准。
2. 鲁棒的参数估计：核心算法支持多维数据的 GMM 建模，在初始化阶段采用随机样本采样，并在协方差更新中引入了数值稳定性算子（1e-6 偏置），有效防止矩阵奇异问题。
3. 动态收敛监控：系统实时计算全数据集的对数似然（Log-Likelihood），通过监测似然值的变化率自动判断算法是否达到局部最优解。
4. 多维度结果可视化：集成了一套完整的可视化方案，包括带有概率轮廓线（2倍标准差椭圆）的聚类散点图，以及展示算法演化过程的收敛曲线。

使用方法

1. 参数配置：在主控程序中设置所需聚类的成分数量 K、最大迭代次数 max_iter 以及收敛容差 tol。
2. 启动执行：运行主函数，系统将自动生成 600 个二维仿真样本并启动 EM 迭代过程。
3. 结果解读：算法运行结束后，控制台将输出每个高斯成分的权重、均值向量等估计参数。
4. 图形分析：通过弹出的图形界面观察聚类划分效果及其对数似然函数的收敛轨迹。

系统要求

1. 软件环境：Matlab R2016b 或更高版本。
2. 工具箱需求：需要安装统计与机器学习工具箱 (Statistics and Machine Learning Toolbox)，以支持多维正态随机数生成等底层操作。

实现逻辑说明

系统的具体实现过程完全遵循 EM 算法的数学框架，分为以下核心环节：

1. 数据初始化阶段

系统首先清除环境变量并固定随机种子。生成 3 个不同分布特性的高斯簇，成分权重分别为 0.3、0.4 和 0.3。这些数据具有不同的协方差属性（如有的存在维度相关性，有的为对角矩阵），用于测试算法对复杂分布的适应性。

1. 核心 EM 迭代循环

* 参数初始化：从观测样本中通过随机排列选取 K 个点作为初始均值中心；将协方差初始化为单位矩阵；将初始权重设为各成分均等分。 * E-step (期望步)：对于每一个样本，计算其由各个高斯成分生成的概率。利用多元正态分布概率密度函数进行计算，并结合当前权重得到后验概率矩阵（Responsibility Matrix）。 * M-step (极大化步)：利用 E-step 得到的后验概率重新计算模型参数。权重更新为后验概率的均值；均值更新为样本的加权平均；协方差更新为以当前均值为中心的加权外积之和，并加入微量恒等矩阵以确保正定性。 * 收敛判定局：在每次迭代结束时，将当前所有成分的加权概率和取对数并累加，得到对数似然函数值。系统会对比当前值与上一次迭代的值，若差值小于预设阈值（1e-6），则认为模型已收敛并提前跳出循环。

1. 结果后处理与几何绘图

* 聚类决策：采用硬聚类策略，将每个样本归类到后验概率最大的成分中。 * 分布轮廓绘制：系统通过对估计得到的协方差矩阵进行特征值分解，确定概率分布主轴的角度与长度。随后在二维平面上根据 2 倍标准差绘制每个成分的置信椭圆，直观展示模型对原始数据空间的覆盖能力。

关键算法细节分析

1. 奇异性保护：在计算多元正态分布逆矩阵及更新协方差时，系统始终在对角线上添加 1e-6。这一逻辑至关重要，能避免因某个成分包含的样本点过少或降维而导致的计算失败。
2. 高效矩阵运算：在 E-step 中，系统避开了缓慢的逐样本循环，通过向量化及 bsxfun 等思想实现概率密度的高效计算。
3. 几何变换应用：可视化函数巧妙地利用单位圆坐标变换，结合特征向量矩阵 V 和特征值平方根 D，将抽象的协方差模型转化为直观的几何图形，增强了对聚类质量的评估手段。