基于局部Fisher准则的非线性核判别分析系统

资 源 简 介

该项目构建了一个先进的非线性特征提取框架，旨在解决高维复杂数据在有监督分类任务中的降维难题。其核心功能是通过引入核技巧（Kernel Trick）和局部Fisher准则，将原始空间中非线性分布的数据映射到高维再生核希尔伯特空间（RKHS），并在该空间内执行局部判别分析。 不同于传统的Fisher辨别分析（LDA），该算法利用局部亲和矩阵来捕捉数据的局部流形结构，通过同时最小化同类邻近样本的局部类内散度与最大化异类样本或远距离样本的局部类间散度，能够有效处理具有多峰分布特征或复杂几何结构的类别降维。 实现过

详 情 说 明

基于局部Fisher准则的非线性核Fisher辨别分析特征提取系统

项目介绍

本项目实现了一种先进的非线性特征提取框架，称为核局部Fisher辨别分析（Kernel Local Fisher Discriminant Analysis, KLFDA）。该系统旨在解决高维复杂数据在有监督分类任务中的降维难题。其核心是通过核技巧将原始空间的非线性分布数据映射到高维再生核希尔伯特空间（RKHS），并在该空间内结合局部边缘结构保持准则。与传统LDA不同，该算法通过局部亲和矩阵捕捉数据的流形结构，同时最小化同类邻近样本的局部类内散度，并最大化异类样本或远距离样本的局部类间散度，能够有效处理具有多峰分布特征或复杂几何结构的类别降维。

功能特性

1. 非线性映射建模：利用高斯径向基核函数（RBF）处理原始空间中线性不可分的数据。
2. 局部结构保持：通过设置局部邻域参数，算法能够敏锐捕捉每一类数据内部的几何流形，防止全局方法导致的特征模糊。
3. 灵活的权重机制：引入局部类内和类间权重矩阵，动态调节样本对投影方向的影响力。
4. 鲁棒性优化：内置正则化系数，有效缓解核矩阵运算中的奇异性问题，确保广义特征值求解的稳定性。
5. 直观的可视化展示：系统自动生成三维原始空间数据分布图与降维后的二维特征空间对比图，并实时计算特征贡献度。

实际实现逻辑

实现过程严格遵循以下技术流程：

1. 数据模拟生成：系统首先构造了一个具有挑战性的非线性分类场景。通过生成三个不同半径、带有一定随机噪声的同心圆环数据（3D空间），模拟工业或识别任务中常见的非线性分布。

1. 核矩阵计算：采用高斯核函数对特征进行变换。系统首先计算大样本集的欧氏距离平方矩阵，随后应用指数核映射生成核矩阵。这一步是实现非线性判别的关键，将原始数据隐含地投影到高维空间。

1. 局部权重与拉普拉斯构建：

• 首先通过寻找同类样本中的K个最近邻点来构建局部亲和矩阵。
• 基于该亲和矩阵，分别计算局部类内权重矩阵和局部类间权重矩阵。
• 生成对应的拉普拉斯矩阵，用于描述高维空间中样本点的局部离散程度。

1. 广义特征值求解：

• 在核空间中构造类内散度矩阵和类间散度矩阵。其数学形式表现为核矩阵与相应拉普拉斯矩阵的乘积。
• 为保证数值计算的可逆性，对类内散度矩阵施加了正则化处理。
• 求解类间散度矩阵相对于类内散度矩阵的广义特征值问题。

1. 投影向向量处理：

• 对提取出的特征值进行降序排列，选取前几个最优特征向量作为非线性投影轴。
• 对每个投影向量进行单位化处理，确保映射后的特征在核空间中具有标准的度量尺度。

1. 特征提取与评价：

• 将核矩阵投影至选定的特征子空间，获得低维特征矩阵。
• 自动计算选定维度的特征贡献率，反映投影后特征对原始判别信息的保留程度。

关键算法与实现细节

1. 局部性定义：算法通过局部邻域大小参数k_neighbors控制。只有在同一类内且互为邻居的样本才会对类内散度产生较强约束，这使得系统能处理类内由于多峰分布导致的非凸结构。

1. 散度矩阵构造：

• 局部类内散度：反映了同类近邻样本在投影后的紧凑程度。
• 局部类间散度：不仅反映了不同类别间的距离，还包含了同类中非邻近样本的分布信息。

1. 正则化技术：在求解优化目标时，通过引入小的常数lambda作为扰动项，有效避免了当样本量小于维度或核矩阵共线性严重时出现的矩阵奇异问题，提升了算法在小样本集上的泛化能力。

1. 坐标投影：最终降维结果是通过核矩阵与投影系数矩阵的乘积实现的，符合Mercer定理，无需显式给出非线性映射函数的具体形式。

使用方法

1. 配置环境：确保安装有MATLAB R2016b或更高版本。
2. 参数调整：根据实际数据分布，在代码初始位置调整核宽度sigma、近邻数k_neighbors和目标维度reduced_dim。
3. 执行分析：运行主程序脚本，系统将依次执行数据生成、核计算、优化求解及绘图辅助。
4. 结果解读：

• 查阅命令行输出的特征值，评估降维后的信息保留量。
• 观察可视化窗口左侧的原始3D非线性分布与右侧的KLFDA提取后的2D线性可分分布对比，验证特征提取效果。

系统要求

1. 软件环境：MATLAB (推荐 R2018a 及以上版本)。
2. 工具箱需求：基础MATLAB环境即可，无需特定外部工具箱。
3. 硬件要求：由于涉及N×N规模的核矩阵运算，建议内存不少于8GB以支持较大规模样本的处理。