QR分解

资 源 简 介

QR分解

详 情 说 明

QR分解是一种重要的矩阵分解技术，它将一个矩阵分解为一个正交矩阵（Q）和一个上三角矩阵（R）的乘积。这种分解在数值线性代数中广泛应用，尤其在求解线性方程组、最小二乘问题和特征值计算中扮演关键角色。

### 1. Householder 变换 Householder 变换通过一系列反射变换来实现 QR 分解。其核心思想是利用反射矩阵（Householder 矩阵）逐步将矩阵的列向量规范化为上三角形式。该方法计算效率高，数值稳定性良好，适用于稠密矩阵。

### 2. Givens 旋转 Givens 旋转通过一系列平面旋转来逐步消去矩阵的非对角元素，最终得到 R 矩阵。相较于 Householder 变换，Givens 旋转特别适用于稀疏矩阵或带状矩阵的分解，因为旋转操作可以仅针对非零元素进行，减少计算量。

### 3. 经典 Gram-Schmidt 正交化 Gram-Schmidt 正交化是最直观的 QR 分解方法，通过逐步正交化和归一化矩阵的列向量来构造 Q 矩阵。然而，由于浮点运算的误差累积，经典 Gram-Schmidt 方法可能会丧失正交性，导致数值不稳定。

### 4. 修正 Gram-Schmidt 正交化 修正 Gram-Schmidt 方法改进了经典版本的数值稳定性，通过重新正交化已处理的向量来减少误差累积。虽然计算量略有增加，但修正后的方法在许多情况下能提供更好的数值结果。

### 应用场景比较 Householder 适合大规模稠密矩阵，计算高效且稳定。 Givens 适合稀疏或特定结构矩阵，灵活性较高。 Gram-Schmidt（尤其是修正版）适合中小规模矩阵或需要显式计算 Q 矩阵的情况。

QR 分解的不同实现方法各具优缺点，选择合适的方法需结合实际问题的矩阵特性和计算需求。