四元数乘法、求逆、共轭、求范数函数

资 源 简 介

四元数乘法、求逆、共轭、求范数函数

详 情 说 明

四元数是一种扩展了复数的数学工具，广泛应用于3D图形学、计算机视觉和机器人学中来表示旋转。四元数由一个实部和三个虚部组成，通常表示为q = w + xi + yj + zk。

### 四元数乘法 四元数乘法不满足交换律，其运算规则基于i² = j² = k² = ijk = -1的性质。两个四元数相乘时，需要对各个分量进行展开计算，并合并同类项。

### 四元数共轭 四元数的共轭定义为将虚部取负，即q* = w - xi - yj - zk。共轭运算常用于计算四元数的逆。

### 四元数求逆 四元数的逆定义为共轭除以范数的平方，即q⁻¹ = q* / ||q||²。只有当四元数的范数不为零时，其逆才存在。

### 四元数范数 四元数的范数类似于向量的长度，计算公式为||q|| = √(w² + x² + y² + z²)。规范化四元数（单位四元数）的范数为1，常用于表示旋转。

### 矢量旋转示例 利用四元数旋转一个3D矢量时，通常先将矢量表示为纯四元数（实部为0），然后通过四元数乘法进行变换。具体步骤包括： 构造旋转四元数q = [cos(θ/2), sin(θ/2)·n]，其中n为旋转轴（单位向量），θ为旋转角度。 将目标矢量v转换为四元数形式v' = [0, v]。 计算旋转后的矢量v'' = q·v'·q⁻¹，其中q⁻¹为q的共轭（因为单位四元数的逆等于共轭）。 取出v''的虚部作为旋转后的矢量坐标。

这种方法比旋转矩阵更高效，且避免了万向节锁的问题，因此在3D图形处理中广泛应用。