matlab代码实现共轭梯度法

资 源 简 介

matlab代码实现共轭梯度法

详 情 说 明

共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种高效求解大型线性方程组的迭代算法，特别适用于对称正定矩阵的系统。它通过构造一组共轭方向来逐步逼近最优解，具有收敛速度快、内存占用小的特点。

在MATLAB中实现共轭梯度法，通常需要以下几个关键步骤：

初始化：给定初始点x0，计算初始残差r0 = b - A*x0，并设置初始搜索方向p0 = r0。

迭代计算：在每一步迭代中，计算步长α_k，更新当前解x_k+1 = x_k + α_k p_k。然后计算新的残差r_k+1 = b - Ax_k+1。

更新搜索方向：利用残差信息构造新的共轭方向p_k+1 = r_k+1 + β_k * p_k，其中β_k用于确保方向共轭性。

终止条件：当残差范数小于预设阈值或达到最大迭代次数时停止迭代。

MATLAB实现时可以利用矩阵运算加速计算过程。共轭梯度法常用于求解稀疏矩阵问题，如有限元分析中的大型方程组。算法收敛性依赖于矩阵A的条件数，预处理技术可进一步改善性能。

该方法的优势在于不需要存储整个系数矩阵，仅需矩阵向量乘积运算，特别适合大规模问题。实际应用中常与不完全分解预处理结合使用以加速收敛。