牛顿法和拟牛顿法解非线性方程组

资 源 简 介

牛顿法和拟牛顿法解非线性方程组

详 情 说 明

牛顿法和拟牛顿法是求解非线性方程组的经典数值方法，它们通过迭代逼近的方式快速收敛到解。牛顿法基于一阶泰勒展开，利用雅可比矩阵（Jacobian）的逆来更新解。虽然收敛速度快（二阶收敛），但在高维问题中计算雅可比矩阵及其逆的代价较高。

拟牛顿法（如BFGS、DFP）通过近似雅可比矩阵或其逆来减少计算量，虽然收敛速度略低于牛顿法（超线性收敛），但避免了复杂的矩阵求逆操作，更适合大规模问题。实验表明，这两种方法在解非线性方程组时均有效，但需权衡计算复杂度与收敛速度：牛顿法适合中小规模精确求解，而拟牛顿法更适合高维问题。

扩展思考：实际应用中，初始点选择会影响收敛性，可结合线搜索或信赖域策略增强稳定性。对于病态问题，正则化或混合方法能提升鲁棒性。