四阶Runge-Kutta方法（微分方程）

资 源 简 介

四阶Runge-Kutta方法（微分方程）

详 情 说 明

四阶Runge-Kutta方法是求解常微分方程初值问题的经典数值方法之一，以其精度和稳定性在科学计算领域广泛应用。该方法属于单步法范畴，通过巧妙设计的中间点计算，将局部截断误差控制在O(h^5)量级。

算法核心思想是通过四个不同位置的斜率加权平均来逼近解曲线。具体步骤可分解为：首先用欧拉法预估中间点斜率k1，接着用k1修正的位置计算k2，再用k2进一步优化得到k3，最后用k3完成末端斜率k4的估计。这四个斜率的加权组合形成了更高精度的增量估计。

例题说明：假设求解dy/dt = -2y在t∈[0,1]上的解，初始条件y(0)=1。取步长h=0.1时，四阶Runge-Kutta会在每个时间步计算四个斜率值，最终得到的数值解与解析解y=e^(-2t)高度吻合。通过比较不同步长的计算结果，可以观察到该方法在合理步长范围内具有显著的精度优势。

该方法特别适合处理非线性微分方程，其实现过程中需要注意步长选择对稳定性的影响，在实际应用中常配合自适应步长策略使用。