计算二维无约束优化的Powell法和坐标轮换法

资 源 简 介

计算二维无约束优化的Powell法和坐标轮换法

详 情 说 明

在无约束优化问题中，Powell法和坐标轮换法是两种经典的直接搜索方法，特别适合解决二维优化问题。这些方法不需要计算目标函数的梯度，通过迭代搜索逐步逼近最优解。

坐标轮换法是最基础的直接搜索方法之一。该方法依次沿着各个坐标轴方向进行一维搜索，在当前方向上找到极小点后，再切换到下一个坐标方向。这种方法的优点是简单直观，但在非轴对齐的问题上收敛速度较慢。

Powell法是对坐标轮换法的改进，它通过构造共轭方向来加速收敛。算法在迭代过程中不仅使用坐标方向，还会生成新的共轭搜索方向。具体实现时，需要保存前一轮迭代的搜索方向，并利用这些信息构造更有效的搜索方向。

无论采用哪种多维优化方法，都需要可靠的一维搜索子程序。黄金分割法是一种经典的一维搜索技术，它通过不断缩小搜索区间来逼近极小点。该方法不需要导数信息，通过比较区间内点的函数值来决定如何缩减区间。

实现一个完整的优化算法还需要搜索区间确定的子程序。常用的方法是进退法，它从初始点出发，通过扩大或缩小步长来确定包含极小点的初始区间。另一个重要子程序是区间划分子程序，它在一维搜索过程中负责维护和更新当前搜索区间。

这些方法组合起来可以构建一个完整的无约束优化求解器。Powell法提供了高效的多维搜索策略，而黄金分割法则确保了每个搜索方向上的精确一维极小化。实际应用中需要注意参数设置和收敛条件的选择，这对算法的性能和可靠性至关重要。